$函数\begin{cases}三要素：定义域，值域，对应关系（解析式）\\三性质：单调性，奇偶性，周期性\\三题型：不等式，对称中心应用、性质扩展\end{cases}$

${\color{Red} 三要素之定义域}$ ：

1、具体：$\begin{cases}
\sqrt{x}：&x\ge0\
\log_{a}{} :&a,x>0,a\ne 1\
\frac{1}{x} :&x\ne 0\x^0:&x\ne 0
\end{cases}$

2、抽象：①定义域：$x$取值范围

②括号范围不变原则。

$若f(x)的定义域为[0,3],则函数y=f(x-1)$的定义域为( )
$若f(2x+1)的定义域为 [0,3],则函数y=f(x)$的定义域为（ ）

${\color{Green}三要素之值域 } $：同除法，换元法、判断式法

同除法$\begin{cases}
函数y=\frac{x^2-x+1}{x} (x>0)的最小值为{\qquad }\
\
函数y=\frac{x}{x^2-x+1} (x>0)的最大值为{ \qquad }
\end{cases}$

$换元法：\begin{cases} 函数y=\frac{x-1}{x^2-x+1},(x>1)的最大值为(\qquad )\\函数y=\frac{x^2-2x+2}{x^2-x+1} ,(x>1)的最小值为(\qquad )\\函数y= \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+5} 的最大值为(\qquad)\end{cases}$

${\color{Red}三要素之解析式 }$ ：

已知$f(\sqrt{x} +1)=x-3\sqrt{x} ,则f(x)=$___________;

已知$f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3 ,则f(x)=$__________；

已知函数$f(x)满足f(x)=2f(-x)+x,则f(x)=$

已知函数$f(x)满足f(x)=2f(\frac{1}{x} )+x,则f(x)=$

${\color{Red} 三性质之单调性}$:

$①定义法$

$②等价定义\forall x_1\ne x_2\Leftrightarrow k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} >0,f(x)\nearrow或(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\Rightarrow f(x)\nearrow $

③复合函数:同增异减

④导数

${\color{Green}三性质之奇偶性 }$ :

常用的几个奇函数：

$①{\color{Red} f(x)=\log_{a}{\cfrac{m+x}{m-x}}} $

$②{\color{Violet} f(x)=\log_{a}{\cfrac{m-x}{m+x} } } $
$③{\color{Green} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}+mx }) }$

$④{\color{Red} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}-mx }) }$

$⑤{\color{Green} f(x)=a^{-x}-a^x} $

$⑥{\color{Violet} f(x)=\cfrac{a^x+1}{a^x-1}} $

$1、定义在[-2,2]$上的函数$f(x)满足(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0(x_1\ne x_2)，且f(x)>f(2x-1),$则实数$x$的取值范围为$(2\ge x>2x-1\ge -2,C)$

$(A)(-\infty,1)\quad(B)[-\frac{1}{2},1]\quad(C)[-\frac{1}{2},1)\quad(D)[-1,1)$

$2、函数f(x)是定义在\mathbb{R}$上的偶函数，且$f(x)在[0,+\infty)$上单调递增，若$f(x)>f(2x-1),则实数x的取值范围为(A)$
$(A)(\frac{1}{3},1)\quad(B)(-1,1)\quad(C)(-\infty,1)\quad(D) (1,+\infty)$

$3、设f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^2},$则使$f(x^2-x)>f(2x-2)$成立的$x取值范围是(A)$

$(A)(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)\quad(B)(-\infty,-2)\cup (0,2)\quad(C)(-2,2)\quad(D)(-\infty,-2)\cup (1,+\infty)$

$4、已知函数f(x)=x^3-2x+e^x-\frac{1}{e^x},若f(x)+f(2x-1)>0,实数x的取值范围为(x\gt \frac{1}{3})$

${\color{Red}三个题型之**对称中心的应用**}$

$5、已知函数f(x)=\ln (\sqrt{1+x^2}- x)+1,f(a)=4,则f(-a)为(-2)$

$[变式1]设函数f(x)=x^3\cos x+1,若f(a)=11,则f(-a)=(-9)$

$[变式2]13年重庆，已知函数f(x)=ax^3+b\sin x+4(a,b\in R),f(\lg({\log_{2}{10}) })=5 ,则f(\lg({\lg{2}) })=(3)$

$[变式3]已知函数f(x)=\frac{|x|-\sin x+1}{|x|+1}的最大值为M,最小值为m,则M+m=(2)$

${\color{Red}1、和为常数：对称性。口诀：异对称}$

${\color{Red}对称轴： } \begin{cases}
f(a+x)=f(a-x):&对称轴x=a\
f(a-x)=f(b+x):&对称轴x=\frac{a+b}{2}
\end{cases}$

${\color{Green}对称中心： } \begin{cases}
f(a+x)=-f(a-x):&(a,0)\
f(a-x)=2b-f(b+x):&(a, b)
\end{cases}$

${\color{Red}2、差为常数:周期性;口诀：同周期}$

${\color{Violet} ①若f(x)=f(\pm a)\Leftrightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Green}②若f(x+a)=f(x-a)\Leftrightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Red}③若f(x+a)=f(x-b)\Leftrightarrow f(x)的周期为|a+b|;}$
${\color{Orange}④若f(x)=-f(x+a)\Leftrightarrow f(x)+f(x+a)=a\Rightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Violet} ⑤若f(x)=\frac{m}{f(x+a)}\Leftrightarrow f(x)f(a+x)=m\Rightarrow f(x)的周期为2|a|}$;
${\color{Green}⑥若f(x)=-\frac{m}{f(x+a)}\Leftrightarrow f(x)f(x+a)=-m\Rightarrow f(x)的周期为2|a|;}$

${\color{Red} ⑦f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;}$
${\color{Blue} ⑧f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;}$

例1、已知函数$y=f(x)满足f(x)-f(2-x)=0(x\in \mathbb{R}),且在[1,+\infty)$上为增函数，则($C$)

$(A)f(-1)>f(1)>f(2)\quad(B)f(1)>f(2)>f(-1)\quad(C)f(-1)>f(2)>f(1)\quad(D)f(2)>f(-1)>f(1)$

例2、已知函数$y=f(x)满足f(2-x)=2-f(x)(x\in \mathbb{R}),若f(-1)+f(0)=4,则f(2)+f(3)=(0)$

${\color{Red}3、双对称出周期结论(可借助三角函数辅助理解)}$

①如果函数$f(x)$有两条对称轴，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称轴距离的２倍。
②如果函数$f(x)$有一条对称轴，有一个对称中心，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称轴与对称中心之间距离的4倍。
③如果函数$f(x)$有两个对称中心，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的２倍。

$若f(x)是定义域为\mathbb{}的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2,则f(1)+f(2)+\dots +f(50)=(C)$

$(A)-50\quad(B)0\quad(C)2\quad(D)50$

(2022.全国乙卷) 已知函数$f(x),g(x)$的定义域均为R，且$f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7。若y=g(x)$的图象关于直线$x=2$对称，$g(2)=4，\sum\limits_{k=1}^{22} f(k)=(D)$

$(A)-21\quad (B)-22\quad(C)-23\quad(D)-24$

${\color{Red}原函数与导函数的对称结论:(理解即可,不强求记忆)}$

(1)若$f(x)$存在导函数${f}'(x) $,且$f(x)$有对称中心$(a,b)$,则${f}'(x) $必有对称轴$x=a$,特别地，若$f(x)$为奇函数，则${f}'(x) $为偶函数。

${\color{Red}\heartsuit\color{Green}原函数有心\Rightarrow导函数有轴;原函数是奇函数\Rightarrow导函数为偶函数}$

(2)若$f(x)$存在导函数${f}'(x) $,且$f(x)$有对称轴$x=a$,则${f}'(x) $必有对称中心$(a,0)$,特别地，若$f(x)$为偶函数，则${f}'(x) $为奇函数。

${\color{Red}\heartsuit\color{Blue} 原函数有轴x=a\Rightarrow 导函数有心(a,0)；原函数是偶函数\Rightarrow导函数为奇函数}$

(3)若${f}'(x) $有对称中心$(a,b)$,则$f(x)$不一定有对称轴$x=a$,但若$b=0$,则${f}(x) $必有对称轴$x=a$,特别地，若${f}'(x) $为奇函数,则$f(x)$为偶函数。

${\color{Yellow}\heartsuit \color{Red}导函数有心(a,b)\nRightarrow原函数有对称轴x=a; 但导函数有心(a,0)\Rightarrow原函数有对称轴x=a；导函数是奇函数\Rightarrow原函数为偶函数.}$

(４)若${f}'(x) $有对称轴$x=a$,则$f(x)$必有对称中心$(a,b)$.特别地，若${f}'(x) $为偶函数,则$f(x)$为不一定是奇函数，只能$f(x)$关于$(0,b)$对称，但$b$不一定是０.

${\color{Red}\heartsuit\color{Violet}导函数有轴x=a\Rightarrow原函数有心(a,b)；{f}' (-x)={f}'(x)\begin{cases}\nRightarrow &f(-x)=-f(x)\\ \Rightarrow &f(x)关于(0，b)对称\end{cases}}$

(2022年.新高考多选)已知函数$f(x)$及其导函数${f}' (x)$的定义域均为R，记$g(x)={f}' (x),若f(\frac{3}{2} -2x),g(2+x)$均为偶函数，则( )。

$(A)f(0)=0\quad (B)g(-\frac{1}{2})=0\quad(C)f(-1)=f(4)\quad (D)g(-1)=g(2)$

口诀：同周期，异对称，异异心，双对称出周期

看$x$:同周异对; 看$y,f$同号轴对称,$f$异号中心对称

周期性：

$(1)f(x+a)=f(x+b)\Rightarrow T=|a-b|;$

$(2)f(x+a)=\frac{m}{f(x)}(m\ne 0)\Leftrightarrow f(x)f(x+a)=m\Rightarrow T=2a$

$(3)f(x+a)=-f(x)+c\Leftrightarrow f(x)+f(x+a)=c\Rightarrow T=2a;$

$(4)f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;$

$(5)f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;$

对称性：

$(1)f(a+x)=f(a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(2)f(x)=f(2a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(3)f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow f(x)关于x=\frac{a+b}{2}对称$

$(4)f(a+x)=-f(a-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(a-x)=0$则$f(x)关于(a,0)$对称;

$(5)f(x)=-f(2a-x)\Longleftrightarrow f(x)+f(2a-x)=0则f(x)关于(a,0)对称;$

$(6)f(a+x)=-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=0则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,0)对称;$

$(7)f(a+x)=2c-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=2c则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,c)对称;$

$(8)f(x+a)是偶函数\Leftrightarrow f(x)关于x=a对称;$（复合函数的对称性）

$(9)f(x+a)是奇函数\Leftrightarrow f(x)关于(a,0)对称;$（复合函数的对称性）

1、函数$f(x)对\forall x\in \mathbb{R},满足f(x+2)=\frac{1}{f(x)} ，若f(1)=-5,则f(f(5))=(\qquad)$

$A.-5\quad B.5.\qquad C.\frac{1}{5}\qquad D.-\frac{1}{5}$

$2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),若f(1)=1,则f(3)-f(4)=(\qquad)$

$A.-1\quad B.1\qquad C.-2\qquad D.2$

$3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2),若当-3\le x \le 0时，f(x)=6^{-x},则f(919)=(\qquad)$

如果理解?$f(1+x)=f(1-x),\begin{cases}f(1)\xrightarrow{左称x}f(1+x)\\f(1)\xrightarrow{右移x} f(1-x)\end{cases}\Rightarrow f(x)关于x=1对称$

如果区分轴对称和中心对称？去掉常数$\Rightarrow$奇函数，偶函数。$f(x+2)的图像关于x=-2对称， \Rightarrow f(x)关于x=0$对称；

$f(x)为奇函数， 且f(x)=f(2-x)\Rightarrow f(x)的T=4$
双对称出周期
$(1)若函数图像关于x=a，x=b轴对称，则T=2|b-a|；$
$(2)若函数图像关于(a,0)，(b,0)中心对称，则T=2|b-a|；$
$(3)若函数图像关于x=a和(b,0)对称，则T=4|b-a|;$

巳知函数$f(x)满足y=f(-x)和f(x+2)$都是偶函数，且$f(1)=1，则f(-1)+f(7)=$( )

$A.0,B.1;C.2;D.3$

已知函数$f(x)=\ln x+\ln(2-x),则$（）

$A.f(x)在(0,2)单调递增。\quad B. f(x)在(0，2)单调递减。\quad C.y=f(x)的图象关于x=1对称。\quad D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称。$

两个函数的对称性

$f(x)与-f(x)关于x$轴对称。
$f(x)与f(-x)与关于y$轴对称。
$f(x)与f(2a-x)与关于x=a$轴对称。
$f(x)与2b-f(2a-x)关于(a，b)$对称。
$f(x)与2a-f(x)与关于y=a$轴对称。
$f(a-x)与f(x-b)与关于x=\frac{a+b}{2}$对称。

函数的增减性、奇偶性运算

①、奇函数$\pm$奇函数＝奇函数，偶函数$\pm$偶函数＝偶函数

②、奇函数$\cdot$ 奇函数＝偶函数；偶函数$\cdot$偶函数＝偶函数；偶函数 $\cdot$奇函数＝奇函数

③、奇函数+偶函数＝非奇非偶

④、复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外。内是指内层函数。(如下解释)

若$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，则$f(f(x))和g(f(x))$均为偶函数;$f(g(x))$是偶函数，$g(g(x))$是奇函数

①、如果奇函数在$x=0$处有定义，则$f(x)=0$

②、奇函数在原点两侧单调性相同，偶函数在原点两侧单调性相反。

作业：用奇函数、偶函数的定义证明上式②奇$\cdot$ 奇＝偶。

增减性运算：

设$f(x)和g(x)$增函数

①、$f(x)+g(x)$是增函数；

②、$-f(x)$是减函数；

③、$\cfrac{1}{f(x)}$是减函数；$(f(x)\gt 0)$

④、$f(x)\cdot g(x) \quad(f(x)\gt 0,g(x)>0)$

⑤、复合函数的单调性是,同增异减。

函数的图形变换

掌握函数图形变换，将打开解题方法新的一道门，这道门让你变得更加得心应手。*

知识点概要：

1、 平移变换；

2、 伸缩变换；

3、 翻转变换；

4、 对称变换；(其中的轴对称变换又叫反射变换，对称轴相当于平面镜)

注意：本文假定$a>0$

知识点一：平移变换性【考点】

水平平移：左加右减

$f(x)向左平移a个单位 ⇔f(x+a)$

$f(x)向右平移a个单位⇔f(x−a)$

竖直平移：上加下减

$f(x)向上平移a个单位⇔f(x)+a$

$f(x)向下平移a个单位⇔f(x)−a$

例： $f(x)=2^{3x}$如何移动得到如下函数

（1） $f(x)=2^{3x}+1$ 沿纵轴上移1单位

（2）$f(x)=2^{3x}−2$ 沿纵轴下移2单位

（3） $f(x)=2^{3(x−1)} $沿横轴右移1单位

（4） $f(x)=2^{3(x+1)}$ 沿横轴左移1单位

（5） $f(x)=2^{3x−6}$ 沿横轴右移2单位【易错】提取公因数$3(x-2)$

知识点二：伸缩变换【三角函数用的较多】

水平伸缩：$ f(x)⇒f(ax)$ 注意：函数与纵轴的交点不进行伸长或缩短

$0<a<1⇒$水平伸长为原来的$ \frac{1}{a} 倍$

a>1⇒ 水平缩短为原来的$\frac{1}{a}$倍

竖直伸缩：$f(x)⇒af(x)$

$0<a<1⇒$竖直伸长为原来的$a倍$

$a>1⇒$竖直缩短为原来的$a倍$

例： f(x)=sin⁡2x 如何伸缩得到如下函数:

（1）$f(x)=\sin ⁡x$ 水平伸长一倍,周期由$\pi变至2\pi$变大，伸长；变小则缩短。

（2）$f(x)=\sin⁡ 4x$ 水平缩小为原来的一半，周期由$\pi变至\frac{\pi}{2}$变小了一半。

（3） $f(x)=2\sin ⁡2x$ 竖直伸长一倍

（4） $f(x)=\frac{1}{2}sin⁡2x $竖直缩小为原来的一半

知识点三：翻转变换【考点】(翻转变换与绝对值有关)

$y=f(x)\Rightarrow y=|f(x)|$ ：下翻上,下不保留。

$y=f(x)\Rightarrow y=f(|x|)$：右翻左，右保留。

例：假设 $f(x)=(x−1)^2−1 $，请画出:

（1）$ g(x)=(|x|−1)^2−1$

（2） $h(x)=|(x−1)^2−1|$

解： f(x) 的图象为

(1)$g(x)=(|x|−1)^2−1$右翻左，如下图：（右侧不变，原左侧不保留，被右侧镜像复制代替）

（2） $h(x)=|(x−1)^2−1|$ 下翻上，如下图所示：（绿色部份）下不保留。

知识点四：对称变换【高效解题】

口诀：关于x轴对称变y，关于y轴对称变x，关于原点对称x和y都改变

（1）$ y=f(x) 与 y=−f(x)$ 关于x轴对称

（2） $y=f(x) 与 y=f(−x) $关于y 轴对称

（3） $y=f(x) 与 y=−f(−x)$ 关于原点对称

（4） $y=f(x) 与 y=f^{−1}(x)$ 关于y=x 对称

（5） $y=f(x) 与 y=−f^{−1}(−x)$ 关于y=−x对称(可忽略，不常用）

（6） $y=f(x) 与 y=f(2a−x) $关于 x=a 对称

例：已知 $y=2^x$请求出一下情况的解析式

（1） 关于x轴对称

（2） 关于y轴对称

（3） 关于原点对称

（4） 关于y=x轴对称

解析：（1） 关于x轴对称变y , $−y=2^x⇒y=−2^x$

（2） 关于y轴对称变x， $y=2^{−x}$

（3） 关于原点对称x和y都改变， $−y=2^{-x} ⇒y=−2^{−x}$

（4） x 与y对调即可， $x=2^y 两边取为底的对数\Rightarrow y=\log_{2}{x} $

知识点五：综合作图练习【高效解题】

例：请画出 $y=\frac{2−x}{x−1}$ 的图形

解：$ y=\frac{2−x}{x−1}=\frac{−(x−1)+1}{x−1}=\frac{1}{x−1}−1$

作图方式：$ y=\frac{1}{x}⇒y=\frac{1}{x−1}⇒y=\frac{1}{x−1}−1$

第一步: $y=\frac{1}{x}$

第二步:$y=\frac{1}{x}$中的x变成x-1，右移动1个单位，就是$ y=\frac{1}{x−1}$ 的图

第三步:$y=\frac{1}{x−1}$中向下平移一个单位，就是 $y=\frac{1}{x−1}−1$ 的图

直线恒过定点问题

$y=kx$恒过原点$(0,0)$，就是当$k$取任意值时，它总经过原点$(0,0)$
$y=kx+1$恒过点$(0,1)$,就是当$k$取任意值时，它总经过定点$(0,1)$
$\Rightarrow 就是让k$这个参数在式子失去了作用。
例1.已知直线的方程为$x+my-2m+6=0$,则该直线恒过定点$(\qquad)$
$x+my-2m+6=0\Rightarrow m(y-2)+x+6=0$
让参数m失去作用就是$y-2=0\Rightarrow y=2,x+6=0\Rightarrow x=-6$定点为$(-6,2)$

例2.已知直线$l:(m+1)x+(2m-1)y+m-2=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$m(x+2y+1)+x-y-2=0\Rightarrow \begin{cases} x+2y+1=0\x-y-2=0
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1\y=-1
\end{cases}$

例3.已知直线$l:(m+n)x+(2m-n)y+5m-n=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$\Rightarrow m(x+2y+5)+n(x-y+1)=0\Rightarrow m\times 0+n\times 0=0$

$\Rightarrow \begin{cases} x+2y+5=0\\x-y+1=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\y=-2\end{cases}$

分离参数法：

若已知方程是含有一个参数$m$的直线系方程，则我们可以把系数中的$m$分离出来，化为$f(x,y)+mg(x,y)=0$的形式。再由$\begin{cases}
f(x,y)=0\g(x,y)=0\end{cases}$**解出$x和y$的值**，即得定点坐标。

例4.已知抛物线$T:y=ax^2(a>0)与直线l$交于A,C两点，且$\angle AOC=90^ {\circ}$,求证：直线l过定点Ｍ;

二次函数恒过定点

例：函数$y=x^2+(2-m)x+m$的图像恒过一点，求该点坐标。

$y=x^2+(2-m)x+m$
$y=x^2+2x+m(1-x)$

$\begin{cases} 1-x=0\\y=x^2+2x\end{cases}\Rightarrow (1,3)$

指数型函数过定点问题：

例：函数$y=a^{x+2}+1(a>0,且a\ne1)$的图像恒过的定点是$(-2,2)$

就是与参数a无数的点，$a^0=1,y=a^x$恒过定点$(0,1)$

令指数部分为０,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标

对数型函数过定点问题：

例题：函数$y=\log_{a}{(2x+1)} -2(a\gt 0,且a\ne1)$恒过

令真数部分为１,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标