记椭圆的焦点三角形$PF_1F_2,记\triangle PF_1F_2内切圆面积和外接圆面积分另为S_1,S_2,若\cfrac{S_2}{S_1} 的最小值为4$
$,则椭圆的离心率为(\qquad)$
$A.\cfrac{1}{2} \qquad B.\cfrac{\sqrt{2} }{2} \qquad C.\cfrac{1}{3}\qquad D.\cfrac{\sqrt{3} }{3}$
设外接圆半径为$R，内切圆半径为r,则 \cfrac{S_2}{S_1}=\cfrac{R^2}{r^2} =4\Rightarrow (\cfrac{R}{r})_{min} =2$
$根据正弦定理有\cfrac{2c}{\sin P} =2R\Rightarrow R=\cfrac{c}{\sin P};$
$易推三角形与内切圆半径关系的面积公式：S_{\triangle PF_1F_2}=\cfrac{1}{2} 三角形周长\times 内切圆半径=\cfrac{1}{2} (2a+2c)r$
$由焦点三角形面积公式：S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan \cfrac{P}{2}=\cfrac{1}{2} (2a+2c)r$
$\Rightarrow r=\cfrac{b^2\tan \cfrac{P}{2}}{a+c}\Rightarrow \cfrac{R}{r} =\cfrac{\cfrac{c}{\sin P}}{\cfrac{b^2\tan \cfrac{P}{2}}{a+c}} =\cfrac{c(a+c)}{\sin P b^2\tan \cfrac{P}{2}} =\cfrac{c(a+c)}{2 b^2\sin^2 \cfrac{P}{2}}$
$\cfrac{R}{r}有最小值，即 \sin^2 \cfrac{P}{2}有最大值,焦点三角形的的顶点在短轴顶点上，顶角有为最大值。$
$(\sin \cfrac{P}{2} )_{max}=e\Rightarrow \cfrac{c(a+c)}{2 b^2e^2 }=2\Rightarrow \cfrac{ac+c^2}{(a^2-c^2)e^2 }=4\Rightarrow \cfrac{e+e^2}{1-e^2 }=4e^2\Rightarrow \cfrac{1+e}{1-e^2 }=4e$
$4e(1-e)=1\Rightarrow \Rightarrow 4e^2-4e+1=0\Rightarrow e=\cfrac{1}{2}$

$已知椭圆E:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad (a\gt b\gt 0)的右顶点分别为A,B,离心率为\cfrac{\sqrt{3} }{2},$
$过P点(1,0)作直线交椭圆于C,D(与AB均不重合)，当点D与椭圆E的上顶点重合时，\left | AD \right |=\sqrt{5} $
$①求椭圆方程；$
$②设直线AD,BC的斜率分别为k_1,k_2,求证\cfrac{k_1}{k_2} 为定值。$
$解:设C(x_1,y_1),D(x_2,y_2),k_1=\cfrac{y_1}{x_1+2},k_2=\cfrac{y_2}{x_2-2}$
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}$
$反设直线CD方程:x=my+1$
$\begin{cases}x=my+1\\ x^2+4y^2-4=0 \end{cases}{\color{Green} \Rightarrow (m^2+4)y^2+2my-3=0} $
${\color{Red} y_1+y_2=\cfrac{-2m}{m^2+4} \quad y_1y_2=\cfrac{-3}{m^2+4} } $
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(my_2+1-2)}{y_2(my_1+1+2)}=\cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}$
上式便是非对称韦达定理，处理方法有如下几种：
第一种：和积互化
${\color{Red} \cfrac{y_1+y_2}{y_1y_2} =\cfrac{2m}{3} }\Rightarrow my_1y_2=\cfrac{3}{2}(y_1+y_2) $
${\color{Red} \therefore \quad \cfrac{k_1}{k_2} =} \cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}=\cfrac{{\color{Red} \cfrac{3}{2}(y_1+y_2)} -y_1}{{\color{Red} \cfrac{3}{2}(y_1+y_2)} +3y_1}= \cfrac{1}{3} $
和积互化还可参见：https://one.free.nf/index.php/archives/3/ 中例二法三
第二种方法：用曲线方程替换

$x_1^2+4y_1^2=4\Rightarrow x_1^2=4-4y_1^2\Rightarrow (x_1+2)(x_1-2)=-4y_1^2$

$\Rightarrow(x_1+2)=\cfrac{-4y_1^2}{(x_1-2)} 代入\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}$
第三种暴力硬解法：
${\color{Green}(m^2+4)y^2+2my-3=0} \Rightarrow y=\cfrac{-2m\pm \sqrt{4m^2+12(m^2+4)} }{2(m^2+4)} $
${\color{Red} =\cfrac{-m\pm 2\sqrt{m^2+3} }{m^2+4} } $
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}＝\cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}
=\cfrac{m\cdot \cfrac{-3}{m^2+4} -{\color{Red} \cfrac{-m- 2\sqrt{m^2+3} }{m^2+4} }}{m\cdot\cfrac{-3}{m^2+4} +3\cdot {\color{Red} \cfrac{-m+ 2\sqrt{m^2+3} }{m^2+4} }}
$
$\cfrac{-3m {\color{Red} +m+ 2\sqrt{m^2+3} }}{-3m{\color{Red} -3m+ 6\sqrt{m^2+3 } }}=\cfrac{1}{3} $
第四种方法：利用圆锥曲线第三定义，前提是两定点是顶点
https://one.free.nf/index.php/archives/3/
例2中法二，如果同时齐次化计算会更简化。
齐次化操作见：https://one.free.nf/index.php/category/%E5%9C%86%E9%94%A5/1/

第五种方法：保留一个未知数，再配凑
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}＝\cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}=\cfrac{my_1y_2-{\color{Red} (y_1+y_2)-y_2} }{my_1y_2+3y_2}$
$=\cfrac{\cfrac{-3m}{m^2+4}-\cfrac{-2m}{m^2+4}+y_2}{\cfrac{-3m}{m^2+4}+3y_2 }=\cfrac{\cfrac{-m}{m^2+4}+y_2}{\cfrac{-3m}{m^2+4}+3y_2 } =\cfrac{1}{3} $

一、极线的两种定义

1.一般定义（几何定义）
不在二次曲线上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则在l上有且只有一点Q，使得(PQ，MN)=-1（即P、Q、M、N构成一调和点列）。当l绕着P旋转时，Q的轨迹是一条直线p（或一部分），这条直线p叫做点P关于二次曲线的极线，而P叫做p关于该曲线的极点。——摘自百度百科

注：Ｐ为ＭＮ的外分点，Ｑ为内分点，它们是对应唯一关系
如上图，以椭圆为例，P为椭圆C外一点，过P的动直线f交C于M、N两点，则在f上有且仅有一点Q，$
$使得|MQ||NP|=|MP||NQ|（即P、M、Q、N构成调和点列）。当f绕着P旋转时，Q的轨迹是直线L（或一部分），$
$直线L叫做点P关于C的极线，而P叫做L关于该曲线的极点。$

那么直线L的方程是什么呢？我们通过两个命题来说明。（仍以椭圆为例）
$命题1：若P(x_0,y_0)不在椭圆C:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a\gt b\gt 0)
上，过P的动直线f交C于M、N两点，$
$则在f上有且仅有一点Q，使得|MQ||NP|=|MP||NQ|。当f绕着P旋转时，Q的轨迹是直线 $
$\cfrac{x_0x}{a^2}+ \cfrac{y_0y}{b^2}=1 .$

$命题2：若P(x_0,y_0)不在椭圆C:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a\gt b\gt 0)
上，过P的动直线f交C于M、N两点,$
$直线\cfrac{x_0x}{a^2}+ \cfrac{y_0y}{b^2}=1交动直线f于Q点，则|MQ||NP|=|MP||NQ|.$
2.代数定义
$对于不在二次曲线C（ Ａx^2+2Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0)上的一点P(x_0,y_0),$
$P关于C的极线为直线(Ａx_0x+2B(x_0y+y_0x)+Cy_0y+D\cfrac{x_0+x}{2}+E\cfrac{y_0+y}{2}+F=0$.

由几何定义我们是无法推出P在二次曲线C上这一情况的极线方程的。（因为此时P与M或N重合，不妨设P与M重合，那么(PQ,MN)=0≠-1）

$但由代数定义，我们知道当P在二次曲线C上时，直线Ax_0x+2B(x_0y+y_0x)+Cy_0y+D\cfrac{x_0+x}{2}+E\cfrac{y_0+y}{2}+F=0$
$既是P关于C的极线，又是C在点P处的切线。$

因此规定当P在曲线C上时，它的极线就是过它的切线。

二、极点、极线的基本性质

性质1.配极原则
对于同一条二次曲线C，如果点P的极线经过点Q，那么点Q的极线经过点P。
$证明（以椭圆C（\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a\gt b\gt 0)为例）：$
$设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2）,则P关于C的极线为直线p：\cfrac{x_1x}{a^2}+ \cfrac{y_1y}{b^2}=1 ,$
$Q的极线为直线q \cfrac{x_2x}{a^2}+ \cfrac{y_2y}{b^2}=1 .$

$∵Q在直线p上，∴ \cfrac{x_1x_2}{a^2}+ \cfrac{y_1y_2}{b^2}=1 , ∴P在直线q上。$
(反之，如果直线p的极点在直线q上，那么直线q的极点在直线p上。)
配极原则是极线最基本、最重要的性质，其余几条性质均由配极原则推导而出。
性质2.配极原则推论
两点连线的极点是这两点的极线的交点；两直线交点的极线是这两直线的极点的连线。
证明：设有两点A、B，各自的极线交于C，则根据配极原则，C在A的极线上⇒A在C的极线上。同理，B在C的极线上。由两点确定一条直线可知AB是C的极线，即C是AB的极点。类似可证后者。

从这个性质中可以知道，对于二次曲线上两个点，过这两点的切线的交点的极线即这两点的连线。

性质3.内接四边形
设四边形ABCD内接于二次曲线C，则对角线交点P的极线是两组对边交点的连线。

证明：由完全四边形的调和性质可知(C,E,A,M),(D,F,B,M)调和，

由极线的几何定义知点E在点M关于曲线C的极线上、点F在点M关于曲线C的极线上

由两点确定一条直线知，直线EF即为点M的极线，∴点P在点M的极线上

由配极原则知，点M在点P的极线上，同理可知，点N在点P的极线上

∴直线MN即为点P的极线，原命题成立。

三、极线在高中解析几何中的应用
例题.非对称韦达式典型题