口诀：同周期，异对称，异异心，双对称出周期

看$x$:同周异对; 看$y,f$同号轴对称,$f$异号中心对称

周期性：

$(1)f(x+a)=f(x+b)\Rightarrow T=|a-b|;$

$(2)f(x+a)=\frac{m}{f(x)}(m\ne 0)\Leftrightarrow f(x)f(x+a)=m\Rightarrow T=2a$

$(3)f(x+a)=-f(x)+c\Leftrightarrow f(x)+f(x+a)=c\Rightarrow T=2a;$

$(4)f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;$

$(5)f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;$

对称性：

$(1)f(a+x)=f(a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(2)f(x)=f(2a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(3)f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow f(x)关于x=\frac{a+b}{2}对称$

$(4)f(a+x)=-f(a-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(a-x)=0$则$f(x)关于(a,0)$对称;

$(5)f(x)=-f(2a-x)\Longleftrightarrow f(x)+f(2a-x)=0则f(x)关于(a,0)对称;$

$(6)f(a+x)=-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=0则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,0)对称;$

$(7)f(a+x)=2c-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=2c则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,c)对称;$

$(8)f(x+a)是偶函数\Leftrightarrow f(x)关于x=a对称;$（复合函数的对称性）

$(9)f(x+a)是奇函数\Leftrightarrow f(x)关于(a,0)对称;$（复合函数的对称性）

1、函数$f(x)对\forall x\in \mathbb{R},满足f(x+2)=\frac{1}{f(x)} ，若f(1)=-5,则f(f(5))=(\qquad)$

$A.-5\quad B.5.\qquad C.\frac{1}{5}\qquad D.-\frac{1}{5}$

$2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),若f(1)=1,则f(3)-f(4)=(\qquad)$

$A.-1\quad B.1\qquad C.-2\qquad D.2$

$3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2),若当-3\le x \le 0时，f(x)=6^{-x},则f(919)=(\qquad)$

如果理解?$f(1+x)=f(1-x),\begin{cases}f(1)\xrightarrow{左称x}f(1+x)\\f(1)\xrightarrow{右移x} f(1-x)\end{cases}\Rightarrow f(x)关于x=1对称$

如果区分轴对称和中心对称？去掉常数$\Rightarrow$奇函数，偶函数。$f(x+2)的图像关于x=-2对称， \Rightarrow f(x)关于x=0$对称；

$f(x)为奇函数， 且f(x)=f(2-x)\Rightarrow f(x)的T=4$
双对称出周期
$(1)若函数图像关于x=a，x=b轴对称，则T=2|b-a|；$
$(2)若函数图像关于(a,0)，(b,0)中心对称，则T=2|b-a|；$
$(3)若函数图像关于x=a和(b,0)对称，则T=4|b-a|;$

巳知函数$f(x)满足y=f(-x)和f(x+2)$都是偶函数，且$f(1)=1，则f(-1)+f(7)=$( )

$A.0,B.1;C.2;D.3$

已知函数$f(x)=\ln x+\ln(2-x),则$（）

$A.f(x)在(0,2)单调递增。\quad B. f(x)在(0，2)单调递减。\quad C.y=f(x)的图象关于x=1对称。\quad D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称。$

两个函数的对称性

$f(x)与-f(x)关于x$轴对称。
$f(x)与f(-x)与关于y$轴对称。
$f(x)与f(2a-x)与关于x=a$轴对称。
$f(x)与2b-f(2a-x)关于(a，b)$对称。
$f(x)与2a-f(x)与关于y=a$轴对称。
$f(a-x)与f(x-b)与关于x=\frac{a+b}{2}$对称。

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