函数概念与性质
$函数\begin{cases}三要素：定义域，值域，对应关系（解析式）\\三性质：单调性，奇偶性，周期性\\三题型：不等式，对称中心应用、性质扩展\end{cases}$
${\color{Red} 三要素之定义域}$ ：
1、具体：$\begin{cases}
\sqrt{x}：&x\ge0\
\log_{a}{} :&a,x>0,a\ne 1\
\frac{1}{x} :&x\ne 0\x^0:&x\ne 0
\end{cases}$
2、抽象：①定义域：$x$取值范围
②括号范围不变原则。
$若f(x)的定义域为[0,3],则函数y=f(x-1)$的定义域为( )
$若f(2x+1)的定义域为 [0,3],则函数y=f(x)$的定义域为（ ）
${\color{Green}三要素之值域 } $：同除法，换元法、判断式法
同除法$\begin{cases}
函数y=\frac{x^2-x+1}{x} (x>0)的最小值为{\qquad }\
\
函数y=\frac{x}{x^2-x+1} (x>0)的最大值为{ \qquad }
\end{cases}$
$换元法：\begin{cases} 函数y=\frac{x-1}{x^2-x+1},(x>1)的最大值为(\qquad )\\函数y=\frac{x^2-2x+2}{x^2-x+1} ,(x>1)的最小值为(\qquad )\\函数y= \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+5} 的最大值为(\qquad)\end{cases}$
${\color{Red}三要素之解析式 }$ ：
已知$f(\sqrt{x} +1)=x-3\sqrt{x} ,则f(x)=$___________;
已知$f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3 ,则f(x)=$__________；
已知函数$f(x)满足f(x)=2f(-x)+x,则f(x)=$
已知函数$f(x)满足f(x)=2f(\frac{1}{x} )+x,则f(x)=$
${\color{Red} 三性质之单调性}$:
$①定义法$
$②等价定义\forall x_1\ne x_2\Leftrightarrow k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} >0,f(x)\nearrow或(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\Rightarrow f(x)\nearrow $
③复合函数:同增异减
④导数
${\color{Green}三性质之奇偶性 }$ :
常用的几个奇函数：
$①{\color{Red} f(x)=\log_{a}{\cfrac{m+x}{m-x}}} $
$②{\color{Violet} f(x)=\log_{a}{\cfrac{m-x}{m+x} } } $
$③{\color{Green} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}+mx }) }$
$④{\color{Red} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}-mx }) }$
$⑤{\color{Green} f(x)=a^{-x}-a^x} $
$⑥{\color{Violet} f(x)=\cfrac{a^x+1}{a^x-1}} $
$1、定义在[-2,2]$上的函数$f(x)满足(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0(x_1\ne x_2)，且f(x)>f(2x-1),$则实数$x$的取值范围为$(2\ge x>2x-1\ge -2,C)$
$(A)(-\infty,1)\quad(B)[-\frac{1}{2},1]\quad(C)[-\frac{1}{2},1)\quad(D)[-1,1)$
$2、函数f(x)是定义在\mathbb{R}$上的偶函数，且$f(x)在[0,+\infty)$上单调递增，若$f(x)>f(2x-1),则实数x的取值范围为(A)$
$(A)(\frac{1}{3},1)\quad(B)(-1,1)\quad(C)(-\infty,1)\quad(D) (1,+\infty)$
$3、设f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^2},$则使$f(x^2-x)>f(2x-2)$成立的$x取值范围是(A)$
$(A)(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)\quad(B)(-\infty,-2)\cup (0,2)\quad(C)(-2,2)\quad(D)(-\infty,-2)\cup (1,+\infty)$
$4、已知函数f(x)=x^3-2x+e^x-\frac{1}{e^x},若f(x)+f(2x-1)>0,实数x的取值范围为(x\gt \frac{1}{3})$
${\color{Red}三个题型之**对称中心的应用**}$
$5、已知函数f(x)=\ln (\sqrt{1+x^2}- x)+1,f(a)=4,则f(-a)为(-2)$
$[变式1]设函数f(x)=x^3\cos x+1,若f(a)=11,则f(-a)=(-9)$
$[变式2]13年重庆，已知函数f(x)=ax^3+b\sin x+4(a,b\in R),f(\lg({\log_{2}{10}) })=5 ,则f(\lg({\lg{2}) })=(3)$
$[变式3]已知函数f(x)=\frac{|x|-\sin x+1}{|x|+1}的最大值为M,最小值为m,则M+m=(2)$
${\color{Red}1、和为常数：对称性。口诀：异对称}$
${\color{Red}对称轴： } \begin{cases}
f(a+x)=f(a-x):&对称轴x=a\
f(a-x)=f(b+x):&对称轴x=\frac{a+b}{2}
\end{cases}$
${\color{Green}对称中心： } \begin{cases}
f(a+x)=-f(a-x):&(a,0)\
f(a-x)=2b-f(b+x):&(a, b)
\end{cases}$ 
${\color{Red}2、差为常数:周期性;口诀：同周期}$
${\color{Violet} ①若f(x)=f(\pm a)\Leftrightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Green}②若f(x+a)=f(x-a)\Leftrightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Red}③若f(x+a)=f(x-b)\Leftrightarrow f(x)的周期为|a+b|;}$
${\color{Orange}④若f(x)=-f(x+a)\Leftrightarrow f(x)+f(x+a)=a\Rightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Violet} ⑤若f(x)=\frac{m}{f(x+a)}\Leftrightarrow f(x)f(a+x)=m\Rightarrow f(x)的周期为2|a|}$;
${\color{Green}⑥若f(x)=-\frac{m}{f(x+a)}\Leftrightarrow f(x)f(x+a)=-m\Rightarrow f(x)的周期为2|a|;}$
${\color{Red} ⑦f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;}$
${\color{Blue} ⑧f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;}$
例1、已知函数$y=f(x)满足f(x)-f(2-x)=0(x\in \mathbb{R}),且在[1,+\infty)$上为增函数，则($C$)
$(A)f(-1)>f(1)>f(2)\quad(B)f(1)>f(2)>f(-1)\quad(C)f(-1)>f(2)>f(1)\quad(D)f(2)>f(-1)>f(1)$
例2、已知函数$y=f(x)满足f(2-x)=2-f(x)(x\in \mathbb{R}),若f(-1)+f(0)=4,则f(2)+f(3)=(0)$
${\color{Red}3、双对称出周期结论(可借助三角函数辅助理解)}$
①如果函数$f(x)$有两条对称轴，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称轴距离的２倍。
②如果函数$f(x)$有一条对称轴，有一个对称中心，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称轴与对称中心之间距离的4倍。
③如果函数$f(x)$有两个对称中心，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的２倍。
$若f(x)是定义域为\mathbb{}的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2,则f(1)+f(2)+\dots +f(50)=(C)$
$(A)-50\quad(B)0\quad(C)2\quad(D)50$
(2022.全国乙卷) 已知函数$f(x),g(x)$的定义域均为R，且$f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7。若y=g(x)$的图象关于直线$x=2$对称，$g(2)=4，\sum\limits_{k=1}^{22} f(k)=(D)$
$(A)-21\quad (B)-22\quad(C)-23\quad(D)-24$
${\color{Red}原函数与导函数的对称结论:(理解即可,不强求记忆)}$
(1)若$f(x)$存在导函数${f}'(x) $,且$f(x)$有对称中心$(a,b)$,则${f}'(x) $必有对称轴$x=a$,特别地，若$f(x)$为奇函数，则${f}'(x) $为偶函数。
${\color{Red}\heartsuit\color{Green}原函数有心\Rightarrow导函数有轴;原函数是奇函数\Rightarrow导函数为偶函数}$
(2)若$f(x)$存在导函数${f}'(x) $,且$f(x)$有对称轴$x=a$,则${f}'(x) $必有对称中心$(a,0)$,特别地，若$f(x)$为偶函数，则${f}'(x) $为奇函数。
${\color{Red}\heartsuit\color{Blue} 原函数有轴x=a\Rightarrow 导函数有心(a,0)；原函数是偶函数\Rightarrow导函数为奇函数}$
(3)若${f}'(x) $有对称中心$(a,b)$,则$f(x)$不一定有对称轴$x=a$,但若$b=0$,则${f}(x) $必有对称轴$x=a$,特别地，若${f}'(x) $为奇函数,则$f(x)$为偶函数。
${\color{Yellow}\heartsuit \color{Red}导函数有心(a,b)\nRightarrow原函数有对称轴x=a; 但导函数有心(a,0)\Rightarrow原函数有对称轴x=a；导函数是奇函数\Rightarrow原函数为偶函数.}$
(４)若${f}'(x) $有对称轴$x=a$,则$f(x)$必有对称中心$(a,b)$.特别地，若${f}'(x) $为偶函数,则$f(x)$为不一定是奇函数，只能$f(x)$关于$(0,b)$对称，但$b$不一定是０.
${\color{Red}\heartsuit\color{Violet}导函数有轴x=a\Rightarrow原函数有心(a,b)；{f}' (-x)={f}'(x)\begin{cases}\nRightarrow &f(-x)=-f(x)\\ \Rightarrow &f(x)关于(0，b)对称\end{cases}}$
(2022年.新高考多选)已知函数$f(x)$及其导函数${f}' (x)$的定义域均为R，记$g(x)={f}' (x),若f(\frac{3}{2} -2x),g(2+x)$均为偶函数，则( )。
$(A)f(0)=0\quad (B)g(-\frac{1}{2})=0\quad(C)f(-1)=f(4)\quad (D)g(-1)=g(2)$