排列组合题型总结

${\color{Red} 题型一、特殊元素优先原则}$

谁最特殊，优先考虑谁。
1、${\color{Green} C_{4}^{1} A_{5}^{5} =480} $
2、①有0：${\color{Green} (C_5^2C_3^1)(C_3^1A_3^3)} =540\quad$
②无0：${\color{Green} (C_5^2C_3^2)A_4^4}=720$
练习题：36 、600

1、①甲去乙不去：${\color{Green} C_3^1A_3^3＝18} \quad$
②甲不去乙去：${\color{Green} A_3^3＝6}$
③甲乙都去：${\color{Green}C_3^1C_2^1 A_3^3＝12}$
2、①甲去,乙不去,丙去：${\color{Green} C_5^2A_4^4＝240} \quad$
②甲不去，$\begin{cases} 乙去，丙不去：{\color{Green} C_5^3A_4^4＝120}\\乙不去，丙不去：{\color{Green}C_5^4A_4^4＝120}\end{cases}$

${\color{Red} 题型二：捆绑法}$

${\color{Green} 1、A_2^2A_4^1A_5^5=2\times 4\times120=960;}$
${\color{Green} 2、A_2^2A_2^1A_3^3=2\times 2\times6=24;}$

${\color{Green} 练1、A_4^4=24;}$
${\color{Green} 练2、A_2^2\times 4A_4^4=2\times 4\times24=192;}$

${\color{Red} 题型三：互不相邻插空法}$

先按排可相邻，再插不相邻的。

${\color{Green} 1、A_3^3A_4^2=72;} $
${\color{Green} 2、先选空椅子3把，不需要排；后3个人插4个空位。C_4^3A_3^3=4\times 6=24;}$

${\color{Green} C_5^2=10;} $

${\color{Red} 题型四：捆绑与插空结合1、停车问题}$

两个捆绑在一起的空车位，没有辨识度。先安排3个车的车位，再4空车位选三个，最后安排一个双空车位在“选三”
${\color{Green}A_3^3C_4^3C_3^1=72}$

${\color{Red} 题型九：相同元素分给不同人：隔板法}$

${\color{Green} 模型一：} \begin{cases} 1、共有n个相同元素；\\2、分给m个不同对象；C_{n-1}^{m-1}\\3、每个对象至少分1个\end{cases}$
例１、共有10个相同的小球，放入４不同的盒子，每个盒子至少有１个小球，共有几种放法？
${\color{Red} \circ }\quad \vdots \quad {\color{Red} \circ }\quad \vdots \quad {\color{Red} \circ }\quad\vdots \quad {\color{Red} \circ }\quad \vdots \quad {\color{Red} \circ }\quad\vdots \quad {\color{Red}\mid \circ }\quad \vdots \quad {\color{Red} \circ }\quad\vdots \quad {\color{Red} \circ }\quad \vdots \quad {\color{Red} \circ }\quad {\color{Red} \mid \quad\circ }$

${\color{Green} 模型二：多分型} \begin{cases} 1、共有n个相同元素；\\2、分给m个不同对象；\\3、每个对象至少分k个\end{cases}$
共有30个相同的小球，放入3不同的盒子，每个盒子至少分得９个小球，共有几种放法？
${\color{Purple} \sqsubset ８\sqsupset \quad \sqsubset ８\sqsupset \quad \sqsubset ８\sqsupset}$
例２、每个盒子放入8个球，问题转化成6个小球放入3盒子，每个盒子至少放入1个的模型一：$C_{6-1}^{3-1}=10$
${\color{Green} 模型三：少分型} \begin{cases} 1、共有n个相同元素；\\2、分给m个不同对象；\\3、允许有对象分得０个；\end{cases}$
例３、共有10个相同的小球，放入3不同的盒子，允许空盒子出现，共有几种放法？
有几个盒便借几个小球，问题转化成模型一：$C_{13-1}^{3-1}=C_{12}^2=66$
用２个隔板插到12个空，分好后，每个盒子再返回一个小球即可。