组合恒等式解读

(1）$C_n^m=C_n^{n-m}$

左边表达的是从 n 个人中选择 m个人参加活动；右边表示的是从 n个人中选择 n-m个人不参加活动。左右两式表示的都是同一件事情的方法数，所以相等。

(2）$P_n^m+mP_n^{m-1}=P_{n+1}^m$

右边表示的是从(n+1)个人中选择 m个人进行排队；针对上述这件事，我们考虑(n+1) 中特定的一个人“小黑”的情况：
1）如果小黑不在这n个人的队列中，那么有$p_n^m$种方法；
2）如果小黑在这n个人的队列中。那么先把小黑安置好，可以从m个位置中任意选一个位置，然后再从剩下的n个人中选择 (m-1)个人排到队伍中。因此总的方法数为 $mP_n^{m-1}$。根据加法原理，所以这件事总的方法数为 $P_n^m+mP_n^{m-1}$，得证。

(3)$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$

右式表示的是从(n+1)个人中选出 m 个人；
左式我们可以按照恒等式(2)进行类似的分类讨论，指定一个人“小黑”：
1）如果小黑在这m个人中，那么再从 n个人中选 (m-1)个人；
2）如果小黑不在这m个人中，那么就是从 n个人中选 m 个人;根据加法原理，这件事总的方法数为：$C_n^m+C_n^{m-1}$ ，得证。

(3*)$C_r^r+C_{r+1}^r+\dots +C_n^r=C_{n+1}^{r+1}$

$C_r^r=C_{r+1}^{r+1}\Rightarrow C_{r+1}^{r+1}+C_{r+1}^r=C_{r+2}^{r+1}接着$。

(4)、$C_{n}^{m+1}+C_{n}^{m-1}+2C_{n}^{m}=C_{n+2}^{m+1}$

右式表示的是从(n+2)个人中选出 (m+1)个人；
与上面讨论类似，左边需要根据“小黑”、“小白”两个人的情况进行分类讨论：
1）小黑、小白都没有被挑选出来，$C_{n}^{m+1}$ ;
2）小黑、小白都被挑选出来了，$C_{n}^{m+1}$ ;
3）小黑、小白其中有一人被挑选出来了，$2C_{n}^{m}$ 。
所以，根据加法原理 $C_{n}^{m+1}+C_{n}^{m-1}+2C_{n}^{m}$ ，得证。
注：这里麻烦了一点，需要讨论两个人的情况，不过思想还是和前面一样的。按照这种想法我们能够造出很多很多的组合恒等式。

(5)、$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$

${\color{Red} 从n个人中选出k个人组队，并选出一个队长}$ ;左边为n个人中选出k个人，再从k个人选出一个人当队长；右边为从n个人中选出一个人当队长，再从(n-1)个人中选出(k-1)个人当队员。

(6)、$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots + C_n^n=2^n$

$n封信投到A、B两个邮箱，(筒的信次方问题)，左边分别为0封信投到A邮筒C_n^0，1封信投到A邮筒C_n^1，2封信投到A邮筒C_n^2，n封信投到A邮筒C_n^n;$
$右边为每封信有2个选择，n封信有2^n$

(7)、$C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+2^3C_n^3\cdots + 2^nC_n^n=3^n$

$n封信投到A、B、C两个邮箱，(筒的信次方问题)，左边的C_n^1表示为n封信选出(n-1)封投到C筒的，余下的一封信投到A、B邮筒的方法数;2^2C_n^2表示为n封信中取出(n-2)投到C筒，余下2封投到A、B邮筒的方法数；$
$右边为每封信有3个选择投到三个邮筒，n封信有3^n方法数$

(8)、$C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+4C_n^4\cdots + nC_n^n=n2^{n-1}$

法一：用$(5)、kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}，左边=nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+nC_{n-1}^2+nC_{n-1}^3+\cdots nC_{n-1}^n$
法二、$(1+x)^n=C_{n}^0+C_{n}^1x+C_{n}^2x^2+C_{n-1}^3x^3+\cdots C_{n}^nx^n$
上式两边求导，$n(1+x)^n=C_{n}^1+2C_{n}^2x+3C_{n-1}^3x^2+\cdots nC_{n}^nx^{n-1}$
再令$x=1$即得证。
法三、设$S=0C_n^0+C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+4C_n^4+5C_n^+6C_n^6\cdots + (n-1)C_n^{n-1} +nC_n^n\qquad (1)$
$S=nC_n^0+(n-1)C_n^1+(n-2)C_n^2+(n-3)C_n^3+(n-4)C_n^4+(n-5)C_n^4+(n-6)C_n^6\cdots + C_n^{n-1}+ 0C_n^n\qquad (2)$
${\color{Red} 两式相加，得} 2S=n(C_n^0+C_n^1+C_n^2+ \dots + C_n^{n-1}+C_n^n )=n2^n$