双变量同构等一些导数题目
$1.若关于x的方程\log_{a}{x} -a^x=0(a\gt 0且a\ne1) 有实数解，则a的值可以为(\quad )$
$A.10\quad B.e\quad C.2\quad \cfrac{5}{4}$
延伸题：同底的指对函数图像是否会相交？若相交，底为多少是交点只有一个；什么时候有两个交点？
$2.已知函数f(x)=e^x-\cfrac{\ln x}{x} +\cfrac{a}{x} -1$
$(1)若在(1,f(1))处的切线斜率为-1,求a值；$
$(2)f(x)\ge 0恒成立，求a的取值范围。$
朗博同构：
$1=\ln e,\qquad 2=\ln e^2,{\color{Red} a=\ln e^a=e^{\ln a}} (a\gt 0)$
$1+\ln x=\ln (ex);\qquad \ln x-1=\ln \cfrac{x}{e};$
$xe^x=e^{x+\ln x},\qquad ae^x=e^{x+\ln a} ;$
$x+\ln x=\ln (xe^x);\qquad \cfrac{e^x}{x}=e^{x-\ln x}$
$x-\ln x=\ln (\cfrac{e^x)}{x}) ;\qquad \cfrac{e^x}{a}=e^{x-\ln a}$
$x^2e^x=e^{x+2\ln x},\qquad a^2e^x=e^{x+2\ln a}\quad x+2\ln x=\ln (x^2e^x)$
$\cfrac{e^x}{x^2}=e^{x-2\ln x}\qquad \cfrac{e^x}{a^2}=e^{x-2\ln a}\qquad x-2\ln x=\ln (\cfrac{e^x}{x^2})$
九大同构自我练习：
$(1)xe^x=e^{(\qquad) }\qquad$
$(2)\cfrac{e^x}{x} =e^{(\qquad\qquad) }\qquad$
$(3)\cfrac{x}{e^x} =e^{(\qquad\qquad) }\qquad$
$(4)x^2e^x=e^{(\qquad) }\qquad$
$(5)\cfrac{e^x}{x^2} =e^{(\qquad\qquad) }\qquad$
$(6)x-\ln x=\ln (\cfrac{}{} \cfrac{}{} \cfrac{}{} )$
$(7)x+\ln x=\ln (\cfrac{}{} \cfrac{}{} \cfrac{}{} )$
$(8)x+2\ln x=\ln (\cfrac{}{} \cfrac{}{} \cfrac{}{} )$
$(9)x-2\ln x=\ln (\cfrac{}{} \cfrac{}{} \cfrac{}{} )$
$对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数：$
$(1)\log_{2}{x} -k\times 2^{kx}\ge 0$
$(2)x^2\ln x-me^{\cfrac{m}{x} }\ge 0$
$(3)e^{2\lambda x}-\cfrac{1}{\lambda } \ln \sqrt{x} \ge 0\quad \lambda\gt 0$
$(4)a(e^{ax}+1)\ge 2(x+\cfrac{1}{x} )\ln x$
$(5)a\ln (x-1)+2(x-1)\ge ax+2e^x$
$(6)x+a\ln x +e^{-x}\ge x^a\quad (x\gt 1)$
$(7)e^{-x}-2x-\ln x=0$
$(8)x^2e^x+\ln x=0$
$小应用$
$(1)f(x)=xe^x-x-\ln x的最小值是(\qquad )$
$(2)f(x)=\cfrac{xe^x-\ln x}{x+1} 的最小值是(\qquad )$
$(3)f(x)=(\ln x+x+1)e^{-x}-x的最大值是(\qquad )$
双变量同构
最简单的一种同构，把两种变量分别放到等式（不等式）两边，观察形式即可。
${\color{Red} \mathbf{构造单调性：} } $
$\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \gt k\quad (x_1\gt x_2)\Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)\gt k(x_1-x_2)$
$\Leftrightarrow f(x_1)-kx_1\gt f(x_2)-kx_2\Leftrightarrow y=f(x)-kx为增函数$
$2021新高考22题:$
$22.已知函数f(x)=x(1-\ln x)$
$(1)讨论f(x)的单调性;$
$(2)设a,b为两个不相等的正数,且b\ln a-a\ln b=a-b,求证:2<\cfrac{1}{a} +\cfrac{1}{b} \lt e.$
$\cfrac{a-b}{ab} \cfrac{b\ln a -a\ln b}{ab} =\cfrac{a-b}{ab} \Rightarrow \cfrac{\ln a}{a} -\cfrac{\ln b}{b} =\cfrac{1}{b} -\cfrac{1}{a} \Rightarrow $
$\Rightarrow \cfrac{\ln a}{a} +\cfrac{1}{a} =\cfrac{\ln b}{b}+\cfrac{1}{b}$
$原函数就是需构造的函数，f(\cfrac{1}{a} )=f(\cfrac{1}{b} )$
$2020全国I卷12题:(比较大小)$
$12.若2^a+\log_2 {a}=4^b+2 \log_4 { b}则$
$A.a>2b\quad B.a<2b\quad C.a>b^2 \quad D.a<b^2$
$2^a+\log_2 {a}=2^{2b}+2 \log_2 { b}\lt 2^{2b}+2 \log_2 { 2b}即h(a)\lt h(2b), 选 b$
$2022年新高考I卷7题:(经典比较大小，准确的说是构造，不算同构.)$
$7.设a=0.1e^{0.1},b=\cfrac{1}{9} ，c=-\ln 0.9 $
$0.1把0.1当做自变量，b=-构造h(x)=xex---比较a和b，$
$构造g(x)=xex+In(1-x)比较a和c.$
$把0.1当做自变量，b=\cfrac{0.1}{1-0.1} c=-\ln (1-0.1)$
$构造h(x)=xe^x-\cfrac{x}{1-x} 比较a和b，$
$构造g(x)=xe^x+\ln (1-x)比较a和c.$