阿波罗尼斯圆
选择性必修一课本97页例6
$一动点Ｐ与两定点A、B的距离之比等于定比\lambda ，则点Ｐ的轨迹，是以定比\lambda $
$内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。$
$定义：在平面内到相异两定点的距离之比为定值（大于０且不等于１）的点的轨迹$
$是圆，称此动点的轨迹为阿波罗尼斯圆。$
$已知AB=2ｃ，有一动点P(x,y)，\cfrac{PA}{PB}=\lambda (\lambda \gt0,且\ne 1)，求Ｐ的轨迹。$
$以AB的中点为坐标原点，建立直角坐标系，A(-C,0),B(C,0),PA=\sqrt{(x+c)^2+y^2}, PB=\sqrt{(x-c)^2+y^2},$
$\Rightarrow \frac{PA}{PB}=\cfrac{\sqrt{(x+c)^2+y^2}}{\sqrt{(x-c)^2+y^2} }= \lambda$
${\color{Red} 圆心(\cfrac{\lambda ^2+1}{\lambda ^2-1}\times c,0 );半径r= |\cfrac{2\lambda c}{\lambda ^2-1}|} $
识别题型：1、定值；2、三角形，3、比例关系。
$1、已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足\left | PA \right | =2\left | PB\right | ,$
$则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(\quad B\quad )$
$A.\pi\quad B.4\pi \quad C.8\pi\quad D.9\pi $
$2、满足条件AB=2,AC=\sqrt{2}BC的\triangle ABC面积的最大值是2\sqrt{2}$
$3、平面内动点M到定点A(-2,0),B(2,0)的距离之比为\cfrac{1}{2} ,则动点M所包围的图形的面积等于(\qquad )$
$4、在\triangle ABC中,BD为的\angle ABC角平分线，D在AC上，且AD=2,DC=1,，则面积\triangle ABC的最大值为$
$5、已知向量\vec{a} ,\vec{b} 满足\left | \vec{a} \right | =1,\left | \vec{b} \right | =\left |2\vec{b} -\vec{a} \right |,则\left | \vec{b} \right |的最大值为(\qquad)，\vec{a}与\vec{b}的夹角取值范围。$
$|2\vec{b} |_{max}=左端点到内分点的距离+阿氏圆的直径=\cfrac{2}{3}+\cfrac{4}{3}=2$
${\color{Green} \because 内分点分\vec{a} 左右端点之比为2:1}$
$=\cfrac{2}{3} 又\because c=\frac{1}{2}$
$r=\cfrac{2\lambda c}{\lambda ^2-1} =\cfrac{2}{3}$
$6、已知平面内有两点A(4,2)和B(2,0)，且该平面内的点P满足\left | PA \right | =\sqrt{3} \left | PB\right | .若点P的轨迹关于$
$直线mx-ny-3=0(m\gt 0,n \gt0 )对称，则\frac{4}{m} +\frac{1}{n}的最小值是(\quad )$
$A.\cfrac{\sqrt{3} }{2} \quad B.\sqrt{3} \quad C.3\quad D.9$
$解：P的轨迹是圆，且圆心在直线mx-ny-3=0上$
$\left | PA \right |=\sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2}, \left | PB \right |=\sqrt{(x-2)^2+y^2},\Rightarrow (x-4)^2+(y-2)^2=3[(x-2)^2+y^2]$
$\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=6\Rightarrow 圆心(1,-1)代入mx-ny=3,即m+n=3$
$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n} =(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n} )(m+n)\times \cfrac{1}{3} \ge 3,当且仅当m=2,n=1时等号成立。$
$7.已知直线l_1：kx-y+2=0与直线l_2:x+ky-2=0相交于点P，则当实数k变化时，$
$点P到直线x-y-4＝0的距离的最大值为(\quad)$
$A.\sqrt{2} +1,\quad B.\sqrt{2} +2,\quad C.3\sqrt{2} \quad D.4\sqrt{2}$
$解：直线l_1过定点A(0,2)，直线l_2过定点B(2,0),P点是AB为直径的圆上；圆心到(1,1)直线距离加上半径即为所求。$
$d=\cfrac{\left | 1-1-4 \right | }{\sqrt{2} }=2\sqrt{2},r=\sqrt{2} \Longrightarrow 3\sqrt{2} $