偏构

$例题:已知函数f(x)=(x-1)(e^x-1).$
$①求f(x)在x=1处的切线方程;$
$②若若关于x的方程f(x)=a有两个不同零点x_1,x_x,$$求证:|x_1-x_2|\le \cfrac{ea}{e-1} +1$
$例1：(2023年资阳一模)x+1=ae^x有两个不相等实根x_1,x_2,$
$求证:|x_1-x_2|\gt e-ea+\sqrt{1－a}$
$例2：已知函数f(x)=\cfrac{x^2-3x+2}{e^x}$
$①求曲线y=f(x)在零点处的切线方程；$$②若方程f(x)=m（m\lt 0）有两个不等实根x_1,x_2,$
$求证:|x_1-x_2|\lt |me(e+1)+1|$
$例3：已知函数f(x)=x\ln x.$
$①求证:f(x)\le ex^2-2x恒成立；$
$②若函数F(x)=f(x)-a有两个不同零点x_1,x_x，$$求证:|x_1-x_2|\gt (e-1)(a+\cfrac{1}{e})+\cfrac{1}{\sqrt{e} }\sqrt{a+\cfrac{1}{e }}$
$例4：已知函数f(x)=(x-1)\ln (x-1).$
$①若关于x的不等式f(x)\ge \lambda (x-2)在(1,+\infty）恒成立;$
$求实数\lambda的取值集合;$
$②若关于x的方程f(x+1)=a有两个不同零点x_1,x_x,$$求证:|x_1-x_2|\lt 2a+1+e^{-2}$
$或②若关于x的方程f(x+1)=a有两个不同零点x_1,x_x,$$求证:|x_1-x_2|\lt \cfrac{3a}{2} +1+\cfrac{1}{2e^3} $
$例5：已知函数f(x)=\ln x-x^2+1$
$①证明:f(x)\lt x$
$②若关于x的方程f(x)=a有两个不同实根x_1,x_x，求证:|x_1-x_2|\le 1-2a$
$例题:x_1-x_2\le \cfrac{a}{e-1} +1-(-a)$
$例1:x_1-x_2\gt e-ea-(-\sqrt{1-a} )$
$例2:x_1-x_2\lt -(e^2m+2+em-1)=-[e^2m+2-(-em+1)]$
$例3:x_1-x_2\gt ea+1-a-(\cfrac{1}{e}-\cfrac{1}{\sqrt{e} }\sqrt{a+\cfrac{1}{e} } )$
$例4:x_1-x_2\lt a+1-(a-e^{-2})或a+1-(-\cfrac{1}{2}a-\cfrac{1}{2e^3} )$


$g(x)=x-\ln x,m\in (1,+\infty);$
$先证g(e^{-m})\gt m=g(x_1)\gt g(1);$
$再证g(em)\gt m=g(x_2)\gt g(1)$