抽象函数三题目

$例1、已知函数f(3-2x)的对称中心为(4,2)，求f(4x-1)的对称中心为：$
$例2、已知函数f(2x-1)关于x=2轴对称，求f(x+1)的对称轴：$
$例3、已知x\in \mathsf{R} ,y=3f(-2x+4)+1为奇函数，则函数y=2f(3x+1)+4的对称中心为$
$\because x=0,y=0\Rightarrow 3f(-2\cdot 0+4)+1=0\Rightarrow f(4)=-\cfrac{1}{3} $
$y=2f(4)+4=-\cfrac{1}{3} \times 2+4=\cfrac{10}{3} {\color{Red} \because } 3x+1=4\Rightarrow x=1$
$(1,\cfrac{10}{3} )$
数列题目66
${\color{Red} a_n=2n+3}{\color{Red}\qquad \therefore } \Rightarrow $
$b_n=\begin{cases} a_n-6=2n-3,\quad n为奇数时\\2a_n=4n+6，\qquad n为偶数时 \end{cases}$
$当n为奇数时,T_n=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+\dots +(2n-7+4n+2)+2n-3$
$=\cfrac{\cfrac{n+1}{2}(-1+2n-3) }{2} +\cfrac{\cfrac{n-1}{2}(14+4n+2) }{2}=\cfrac{3n^2+5n-10}{2}$
$当n\gt 5时，T_n-S_n=\cfrac{3n^2+5n-10}{2}-(n^2+4n)= \cfrac{n^2-3n-10}{2}=\cfrac{(n-5)(n+2)}{2} \gt 0 $
$当n为偶数时,T_n=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+\dots +(2n-5+4n+6)$
$=\cfrac{\cfrac{n}{2}(-1+2n-5) }{2} +\cfrac{\cfrac{n}{2}(14+4n+6) }{2}=\cfrac{3n^2+7n}{2}$
$当n\gt 5时，T_n-S_n=\cfrac{3n^2+7n}{2}-(n^2+4n)=\cfrac{n(n-1)}{2}\gt 0$

$例4、若函数f(x+2)为偶数，y=g(x+1)-5为奇数，且f(2-x)+g(x)=2，则f(2023)=$
$f(x)关于x=2对称，g(x)的对称中心为(1,5)\Rightarrow g(x)+g(2-x)=10$
${\color{Orange} \because \quad } f(2-x)+g(x)=2\Rightarrow f(x)+g(2-x)=2$

$例5、已知f(x)是二次函数,f(-2)=0,且有2x\le f(x)\le \cfrac{x^2+4}{2},则f(10)=$
$设f(x)=(x+2)(ax+b),y=2x与y=\cfrac{x^2+4}{2}相交于(2,4)$
${f}' (x)=ax+b+a(x+2),三个相交并相切于(2,4)，\Rightarrow f(2)=4,{f}' (2)=2$
$2a+b=1,6a+b=2,a=0.25,b=0.5$
$例6、已知x^2+y^2=6,那么3x+4y的最大值是$
可用三角变换，也可构造向量
$例7、若关于x的方程\cfrac{x}{e^x} +\cfrac{e^x}{x-e^x} +m=0 有三个不相等的实数解x_1,x_2,x_3，$
$且 x_1\lt 0\lt x_2\lt x_3,其中 m\in R,则$
$(\cfrac{x_1}{e^{x_1}}-1 )^2(\cfrac{x_2}{e^{x_2}}-1 )(\cfrac{x_3}{e^{x_3}}-1 )＝(\qquad)$
$提示：\cfrac{x}{e^x}-1 +\cfrac{1}{\cfrac{x}{e^x}-1}+m+1=0$
$令f(x)=\cfrac{x}{e^x}-1 ,f(x)+\cfrac{1}{f(x)}+m+1=0$
$f(x)\le \cfrac{1}{e}-1,去分母\Rightarrow f^2(x) +(m+1)f(x)+1=0$
$换元令f(x)=t,t^2+(m+1)t+1=0,t_1+t_2=-m-1,t_1t_2=1$

$例8.\alpha ,\beta 为锐角，且\cos (\alpha +\beta )=\cfrac{\sin \alpha }{\sin \beta } ,则\tan \alpha的最大值(\quad)$
$A.\cfrac{\sqrt{2} }{4} \qquad B.\cfrac{\sqrt{3} }{3} \qquad C.1\qquad D.\sqrt{2} $
$要奔着用\tan \beta 来表示 \tan \alpha$
$\tan \alpha \cfrac{1}{\sin \beta } =\cos \beta -\tan \alpha \sin \beta \Rightarrow \tan \alpha =\cfrac{\sin \beta \cos \beta }{1+\sin^2 \beta }$
$例9.若x^2+y^2=1,则\cfrac{y-2}{x+1} 的最大值为(\quad -\cfrac{3}{4} \quad )$
$例10.已知单位向量\vec{e_1} 与\vec{e_2}的夹角为\alpha ,且\cos \alpha =\cfrac{1}{3}, $
$向量\vec{a}=3\vec{e_1}-2 \vec{e_2}与\vec{b} =3\vec{e_1}- \vec{e_2}的夹角为\beta ，则\cos \beta 为$
$例11.在\triangle ABC满足b-2a+4a\sin ^2\cfrac{A+B}{2} =0, 下列结论错误的是(\qquad)$
$A.角C是钝角 \qquad B. a^2+2b^2-c^2=0 \qquad C.\tan B的最小值为\cfrac{\sqrt{3} }{`3} \qquad D.3\tan A+\tan C=0$
$例12.已知实数x,y,z均小于1,且满足e^x-e^{\log_{2}{3} }=e\cdot (x-\log_{2}{3}),$
$e^y-e^{\log_{2}{3} }=e\cdot (y-\log_{2}{3})，e^y-e^{\log_{2}{3} }=e\cdot (z-\log_{2}{3}),则x,y,z的大小关系是：$
$解：{\color{Purple} 　\Leftrightarrow e ^x-ex=e^{ \log_{2}{3}}-e\log_{2}{3} } $
$e ^y-ey=e^{ \log_{3}{5}}-e\log_{3}{5} ;$
$e ^z-ez=e^{ \log_{5}{8}}-e\log_{5}{8} ;$
$构造函数f(x)=e^t-et,t\in (-\infty,1)$
${\color{Red} \Rightarrow f(x)=f(\log_{2 }{3}); }$
${\color{Purple} \Rightarrow f(y)=f(\log_{3}{5}) }$
${\color{Red} \Rightarrow f(z)=f(\log_{2 }{3}); }$
$\because x,y,z\lt 1,而\log_{2}{3},\log_{3}{5} ,\log_{5}{8} \gt 1,$
$所以x\ne \log_{2}{3},y\ne \log_{3}{5} ,z\ne \log_{5}{8}$
${{\color{Red}\because \quad } \color{Green} \log_{2}{3}\gt\log_{3}{5} \gt \log_{5}{8},此处省去无数过程}$
$对f(x)容易得到它在x\lt 1时，单调递减，x\gt 1时单调递增。{\color{Red} \Rightarrow}x\lt y\lt z$

$例13.在\triangle ABC中，角A,B,C所对三边为a,b,c,且外接圆半径为R=5,则\cfrac{abc}{a^2+b^2+2c^2}的最大值为： $