关于极点极线的定义、基本性质的基础释明

一、极线的两种定义

1.一般定义（几何定义）
不在二次曲线上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则在l上有且只有一点Q，使得(PQ，MN)=-1（即P、Q、M、N构成一调和点列）。当l绕着P旋转时，Q的轨迹是一条直线p（或一部分），这条直线p叫做点P关于二次曲线的极线，而P叫做p关于该曲线的极点。——摘自百度百科

注：Ｐ为ＭＮ的外分点，Ｑ为内分点，它们是对应唯一关系
如上图，以椭圆为例，P为椭圆C外一点，过P的动直线f交C于M、N两点，则在f上有且仅有一点Q，$
$使得|MQ||NP|=|MP||NQ|（即P、M、Q、N构成调和点列）。当f绕着P旋转时，Q的轨迹是直线L（或一部分），$
$直线L叫做点P关于C的极线，而P叫做L关于该曲线的极点。$

那么直线L的方程是什么呢？我们通过两个命题来说明。（仍以椭圆为例）
$命题1：若P(x_0,y_0)不在椭圆C:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a\gt b\gt 0)
上，过P的动直线f交C于M、N两点，$
$则在f上有且仅有一点Q，使得|MQ||NP|=|MP||NQ|。当f绕着P旋转时，Q的轨迹是直线 $
$\cfrac{x_0x}{a^2}+ \cfrac{y_0y}{b^2}=1 .$

$命题2：若P(x_0,y_0)不在椭圆C:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a\gt b\gt 0)
上，过P的动直线f交C于M、N两点,$
$直线\cfrac{x_0x}{a^2}+ \cfrac{y_0y}{b^2}=1交动直线f于Q点，则|MQ||NP|=|MP||NQ|.$
2.代数定义
$对于不在二次曲线C（ Ａx^2+2Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0)上的一点P(x_0,y_0),$
$P关于C的极线为直线(Ａx_0x+2B(x_0y+y_0x)+Cy_0y+D\cfrac{x_0+x}{2}+E\cfrac{y_0+y}{2}+F=0$.

由几何定义我们是无法推出P在二次曲线C上这一情况的极线方程的。（因为此时P与M或N重合，不妨设P与M重合，那么(PQ,MN)=0≠-1）

$但由代数定义，我们知道当P在二次曲线C上时，直线Ax_0x+2B(x_0y+y_0x)+Cy_0y+D\cfrac{x_0+x}{2}+E\cfrac{y_0+y}{2}+F=0$
$既是P关于C的极线，又是C在点P处的切线。$

因此规定当P在曲线C上时，它的极线就是过它的切线。

二、极点、极线的基本性质

性质1.配极原则
对于同一条二次曲线C，如果点P的极线经过点Q，那么点Q的极线经过点P。
$证明（以椭圆C（\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a\gt b\gt 0)为例）：$
$设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2）,则P关于C的极线为直线p：\cfrac{x_1x}{a^2}+ \cfrac{y_1y}{b^2}=1 ,$
$Q的极线为直线q \cfrac{x_2x}{a^2}+ \cfrac{y_2y}{b^2}=1 .$

$∵Q在直线p上，∴ \cfrac{x_1x_2}{a^2}+ \cfrac{y_1y_2}{b^2}=1 , ∴P在直线q上。$
(反之，如果直线p的极点在直线q上，那么直线q的极点在直线p上。)
配极原则是极线最基本、最重要的性质，其余几条性质均由配极原则推导而出。
性质2.配极原则推论
两点连线的极点是这两点的极线的交点；两直线交点的极线是这两直线的极点的连线。
证明：设有两点A、B，各自的极线交于C，则根据配极原则，C在A的极线上⇒A在C的极线上。同理，B在C的极线上。由两点确定一条直线可知AB是C的极线，即C是AB的极点。类似可证后者。

从这个性质中可以知道，对于二次曲线上两个点，过这两点的切线的交点的极线即这两点的连线。

性质3.内接四边形
设四边形ABCD内接于二次曲线C，则对角线交点P的极线是两组对边交点的连线。

证明：由完全四边形的调和性质可知(C,E,A,M),(D,F,B,M)调和，

由极线的几何定义知点E在点M关于曲线C的极线上、点F在点M关于曲线C的极线上

由两点确定一条直线知，直线EF即为点M的极线，∴点P在点M的极线上

由配极原则知，点M在点P的极线上，同理可知，点N在点P的极线上

∴直线MN即为点P的极线，原命题成立。

三、极线在高中解析几何中的应用
例题.非对称韦达式典型题