焦点三角形一题目

记椭圆的焦点三角形$PF_1F_2,记\triangle PF_1F_2内切圆面积和外接圆面积分另为S_1,S_2,若\cfrac{S_2}{S_1} 的最小值为4$
$,则椭圆的离心率为(\qquad)$
$A.\cfrac{1}{2} \qquad B.\cfrac{\sqrt{2} }{2} \qquad C.\cfrac{1}{3}\qquad D.\cfrac{\sqrt{3} }{3}$
设外接圆半径为$R，内切圆半径为r,则 \cfrac{S_2}{S_1}=\cfrac{R^2}{r^2} =4\Rightarrow (\cfrac{R}{r})_{min} =2$
$根据正弦定理有\cfrac{2c}{\sin P} =2R\Rightarrow R=\cfrac{c}{\sin P};$
$易推三角形与内切圆半径关系的面积公式：S_{\triangle PF_1F_2}=\cfrac{1}{2} 三角形周长\times 内切圆半径=\cfrac{1}{2} (2a+2c)r$
$由焦点三角形面积公式：S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan \cfrac{P}{2}=\cfrac{1}{2} (2a+2c)r$
$\Rightarrow r=\cfrac{b^2\tan \cfrac{P}{2}}{a+c}\Rightarrow \cfrac{R}{r} =\cfrac{\cfrac{c}{\sin P}}{\cfrac{b^2\tan \cfrac{P}{2}}{a+c}} =\cfrac{c(a+c)}{\sin P b^2\tan \cfrac{P}{2}} =\cfrac{c(a+c)}{2 b^2\sin^2 \cfrac{P}{2}}$
$\cfrac{R}{r}有最小值，即 \sin^2 \cfrac{P}{2}有最大值,焦点三角形的的顶点在短轴顶点上，顶角有为最大值。$
$(\sin \cfrac{P}{2} )_{max}=e\Rightarrow \cfrac{c(a+c)}{2 b^2e^2 }=2\Rightarrow \cfrac{ac+c^2}{(a^2-c^2)e^2 }=4\Rightarrow \cfrac{e+e^2}{1-e^2 }=4e^2\Rightarrow \cfrac{1+e}{1-e^2 }=4e$
$4e(1-e)=1\Rightarrow \Rightarrow 4e^2-4e+1=0\Rightarrow e=\cfrac{1}{2}$