对偶式解决圆锥曲线问题

对偶式法适用于经过二次曲线对称轴上定点的直线。使用这个方法的主体是以曲线上的点作为参数，找到点与点之间存在的数量关系。有时还需要解点：解出点的坐标，进行消元。通常用于椭圆和双曲线。

前置知识一：直线两点式的另一种形式。

我们知道，直线的两点式，是描述了到两定点斜率相等的点的集合。
先回顾一下，即如下的式子：
过点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的直线的两点式：\cfrac{y-y_1}{x-x_1} =\cfrac{y-y_2}{x-x_2}$
稍微变形即可得到$\Omega$  式：
$\cfrac{y-y_1}{x-x_1} =\cfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$(y-y_1)(x-x_2)=(y-y_2)(x-x_1)$
$xy-y_1x-x_2y+x_2y_1=xy-y_2x-x_1y+x_1y_1$
$x_2y_1-x_1y_2=(x_2-x_1)y+(y_1-y_2)x\qquad \Omega式$

前置知识二：对二次曲线方程的使用（对偶式法的核心）

若过点$T(t,0)的直线l交椭圆C:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt 0)于A,B两点。A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$
AB:$\quad x_2y_1-x_1y_2=(x_2-x_1)y+(y_1-y_2)x过点T$
$x_2y_1-x_1y_2=t(y_1-y_2)\qquad ①$
$x_2y_1+x_1y_2=\cfrac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{x_2y_1-x_1y_2} =\cfrac{\cfrac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{a^2} }{\cfrac{x_2y_1-x_1y_2}{a^2} }$
$=\cfrac{(1-\cfrac{y_2^2}{b^2} )y_1^2- (1-\cfrac{y_1^2}{b^2} )y_2^2}{\cfrac{t(y_1-y_2)}{a^2} }=\cfrac{a^2}{t}(y_1+y_2)\qquad ②$
联立① ②：$\begin{cases} x_2y_1=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2} y_1+\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} y_2\\x_1y_2=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2} y_2+\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} y_1\end{cases}$
$\begin{cases} x_2=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2} +\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} \cfrac{y_2}{y_1}\\x_1=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2}+\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} \cfrac{y_1}{y_2}\end{cases}$
${\color{Red} \Rightarrow } (x_1-\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2}) (x_2-\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2}) =(\cfrac{-t+\cfrac{a^2}{t} }{2} )^2$