朗博同构+函数法
1-1、$已知\lambda\gt 0 若不等式 e^{\lambda x} -\cfrac{ln x}{\lambda} \ge0,求\lambda的取值范围。$
解：$\lambda e^{\lambda x}\ge ln x\Rightarrow \lambda xe^{\lambda x}\ge xln x$
构造$f(x)=xe^x,{f}' (x)=e^x(x+1),当x\gt -1,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow;$
$x\lt -1 ,{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow ; f(\lambda x)\ge f(\ln x)\Rightarrow \lambda x\ge \ln x$
$若\begin{cases} \lambda x\gt 0\\ \ lnx\gt 0 \end{cases}\Rightarrow \lambda x\ge \ln x 或若\begin{cases} \lambda x\gt 0\\ \ lnx\le 0 \end{cases}\Rightarrow \lambda x\ge \ln x$
根据$xe^x$的图像，右侧的图像比左侧的值都大。$({\color{Red}这里并不是根据单调性判断。 } )$
$\lambda \ge (\cfrac{\ln x}{x} )_{max}\quad g(x)=\cfrac{\ln x}{x} ,{g}' (x)=\cfrac{\ln x-1}{x^2} $
先减后增有极大值，在$x＝e处，\lambda \ge g(e)=\cfrac{1}{e} $
1-2、已知$a\gt 0,若对x\in [\cfrac{1}{e} ,+\infty),不等式2e^{ax}(\ln 2+ax)-x\ln x\ge 0恒成立，则实数a的取值范围为$
解：$2e^{ax}(\ln 2+ax)\ge x\ln x\Leftrightarrow e^{\ln2+ax}(\ln 2+ax)\ge x\ln x$
构造$f(x)=xe^x,f(\ln 2+ax)\ge f(\ln x)\quad$同上题理由，
$\therefore \ln 2+ax\ge \ln x \Rightarrow a\ge \cfrac{\ln x -\ln 2}{x} \Leftrightarrow a\ge (\cfrac{\ln x -\ln 2}{x})_{max}$
令$g(x)=\cfrac{\ln \cfrac{x}{2} }{2\times \cfrac{x}{2}}\quad {g}' (x)=\cfrac{\ln 2e-ln x}{x^2} g(x)\le g(2e)=\cfrac{\ln 2e-\ln 2}{2e}=\cfrac{1}{2e} $
2、$ae^x\ln x\lt x^2+x\ln a对于x\in (0,1)恒成立，求a$的取值范围。
解：$ae^x\ln x\lt x^2+x\ln a=x(x+\ln a)\Leftrightarrow \cfrac{ae^x\ln x}{x} \lt x+\ln a\Leftrightarrow \cfrac{\ln x}{x} \lt\cfrac{x+\ln a }{ae^x} $
$\Leftrightarrow \cfrac{\ln x}{x} \lt\cfrac{x+\ln a }{ae^x} = \cfrac{\ln (ae^x) }{ae^x}$
设$g(x)= \cfrac{\ln x}{x},g(x)\lt g(ae^x) ,{g}' (x)= \cfrac{1-\ln x}{x^2}在{\color{Red} (0,e)在g(x)单调递增} ，x\lt ae^x $
$x\lt ae^x \mapsto a\gt \cfrac{x}{e^x} 设h(x)=\cfrac{x}{e^x},\quad ,{h}'(x)=\cfrac{1-x}{e^x},$在${\color{Red} (0,1)h(x)\nearrow} a\ge h(1)=\cfrac{1}{e} $
3-1、已知$a\lt 0,若不等式x+a\ln x+\cfrac{1}{e^x}\ge x^a对于x\in (1,+\infty )$恒成立，求$a$的取值范围。
解：$x+a\ln x+\cfrac{1}{e^x}\ge x^a\Leftrightarrow x+\cfrac{1}{e^x}\ge x^a-a\ln x\Leftrightarrow x+\cfrac{1}{e^x}\ge x^a-\ln x^a$
$a\lt 0,x \in (1,+\infty)$
$\Leftrightarrow \cfrac{1}{e^x}-\ln{ \cfrac{1}{e^x}}\ge x^a-\ln x^a$
构造$f(t)=t-\ln t\quad ,{f}' (t)=1-\cfrac{1}{t},易得f(t)在{\color{Red} t\in(0,1)单调递减} ，在t\in (1,+\infty) 单调递增；$
$\because f(\cfrac{1}{e^x})\ge f(x^a)\quad x\in(1,\infty),\therefore {\color{Red}\cfrac{1}{e^x}\lt 1;x^a\lt 1\quad(a\lt0) } $
$\Rightarrow \cfrac{1}{e^x}\le x^a ,两边取自然对数，得 -x\le a\ln x\Rightarrow a\ge -\cfrac{x}{\ln x}\Rightarrow -a\le \cfrac{x}{\ln x} $
$即-a\le (\cfrac{x}{\ln x})_{min},\cfrac{x}{\ln x}是常用的同构函数，g(x)=\cfrac{x}{\ln x},$
${g}' (x)=\cfrac{\ln x-1}{\ln^2 x}\quad (0,e)g(x)\searrow ,(e,+\infty)\nearrow ,g(x)_{min}=g(e)=e$
$a\ge -g(e)=-e$
3-2、已知$a\gt 0,不等式ae^x+\ln \cfrac{a}{x+2}\gt2\quad $恒成立；求$a$的取值的取值范围。
解：$a\gt 0,ae^x+\ln \cfrac{a}{x+2}\gt2\quad $恒成立；
指对分家，含参在一起，$ae^x+\ln a\gt2 +\ln (x+2)$
$\Leftrightarrow e^{x+\ln a}+\ln a\gt 2+\ln (x+2)$
两边加上x， $e^{x+\ln a}+x+\ln a\gt x+2+\ln (x+2)$
$\Leftrightarrow e^{x+\ln a}+x+\ln a\gt e^{\ln(x+2)}+\ln (x+2)$
构造$f(x)=e^x+x,$上式等价于,$f(x+\ln a)\gt f(\ln(x+2)),$
$e^x\nearrow ,x\nearrow\Rightarrow e^x+x\nearrow$
$f(x)\nearrow \Rightarrow x+\ln a \gt \ln (x+2)$
$\ln a \gt \ln (x+2)-x,设g(x)= \ln (x+2)-x\quad\ln a \gt{\color{Red} g(x)_{max} } $
${g}' (x)=\cfrac{1}{x+2}-1=\cfrac{1-(x+2)}{x+2} $
${g}' (x)=\cfrac{-(1+x)}{x+2} \quad x\in(-2,-1),{g}' (x)\gt 0,g(x)\nearrow ;$
$x\in(-1,+\infty ),{g}' (x)\lt 0,g(x)\searrow ;故g(x)_{max}=g(-1)=1,$
即$\ln a\gt 1,a\gt e$
4、
解：$a(e^{ax}+1)\ge 2(x+\cfrac{1}{x})\ln x 恒成立a$的取值范围；
${\color{Red}\because \quad 定义域 x\gt 0 }两边乘以 x,得ax(e^{ax}+1)\ge 2(x^2+1)\ln x =(x^2+1)\ln x^2$
构造$f(x)=x(e^x+1),上式左边=f(ax),右边＝f(\ln x^2)$
$y_1=x,\quad y_2=e^x+1均为单调函数。\therefore f(x)\nearrow$这样对吗？
$f(x)=x(e^x+1)\quad {f}' (x)=e^x+1+xe^x=e^x(x+1)+x\gt 0 \quad \therefore f(x)\nearrow$
$ax\ge \ln x^2\Rightarrow a\ge 2\cdot\cfrac{\ln x}{x} \Rightarrow a\ge \cfrac{2}{e} $
$\cfrac{\ln x}{x}$是你必须熟悉的同构函数！
5、关于$x$的不等式$xe^x-a(x+3)-a\ln x\ge 0$恒成立，求$a$的取值范围。
解：$xe^x-a(x+3)-a\ln x\ge 0,$
$xe^x-a(x+3)-a\ln x\ge 0,\Rightarrow e^{x+\ln x}\ge a(x+\ln x)+3a$
换元令$t=x+\ln x　t\in R\Rightarrow e^t\ge at+3a$
$y=a(t+3)　恒过(-3,0)$ 的直线，当过y与曲线$e^t$相切时，取=,即$a\le$ 此切线斜率时恒成立。
过点的切线问题，设切点$(m,e^m)，k=e^m,y-e^m=e^m(x-m)将(-3,0)代入，解得m=-2$
$ 0\le a\le {\color{Red} k} =e^{-2}=\cfrac{1}{e^2}$

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