直线恒过定点问题

$y=kx$恒过原点$(0,0)$，就是当$k$取任意值时，它总经过原点$(0,0)$
$y=kx+1$恒过点$(0,1)$,就是当$k$取任意值时，它总经过定点$(0,1)$
$\Rightarrow 就是让k$这个参数在式子失去了作用。
例1.已知直线的方程为$x+my-2m+6=0$,则该直线恒过定点$(\qquad)$
$x+my-2m+6=0\Rightarrow m(y-2)+x+6=0$
让参数m失去作用就是$y-2=0\Rightarrow y=2,x+6=0\Rightarrow x=-6$定点为$(-6,2)$

例2.已知直线$l:(m+1)x+(2m-1)y+m-2=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$m(x+2y+1)+x-y-2=0\Rightarrow \begin{cases} x+2y+1=0\x-y-2=0
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1\y=-1
\end{cases}$

例3.已知直线$l:(m+n)x+(2m-n)y+5m-n=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$\Rightarrow m(x+2y+5)+n(x-y+1)=0\Rightarrow m\times 0+n\times 0=0$

$\Rightarrow \begin{cases} x+2y+5=0\\x-y+1=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\y=-2\end{cases}$

分离参数法：

若已知方程是含有一个参数$m$的直线系方程，则我们可以把系数中的$m$分离出来，化为$f(x,y)+mg(x,y)=0$的形式。再由$\begin{cases}
f(x,y)=0\g(x,y)=0\end{cases}$**解出$x和y$的值**，即得定点坐标。

例4.已知抛物线$T:y=ax^2(a>0)与直线l$交于A,C两点，且$\angle AOC=90^ {\circ}$,求证：直线l过定点Ｍ;

二次函数恒过定点

例：函数$y=x^2+(2-m)x+m$的图像恒过一点，求该点坐标。

$y=x^2+(2-m)x+m$
$y=x^2+2x+m(1-x)$

$\begin{cases} 1-x=0\\y=x^2+2x\end{cases}\Rightarrow (1,3)$

指数型函数过定点问题：

例：函数$y=a^{x+2}+1(a>0,且a\ne1)$的图像恒过的定点是$(-2,2)$

就是与参数a无数的点，$a^0=1,y=a^x$恒过定点$(0,1)$

令指数部分为０,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标

对数型函数过定点问题：

例题：函数$y=\log_{a}{(2x+1)} -2(a\gt 0,且a\ne1)$恒过

令真数部分为１,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标

直线恒过定点问题