切线放缩（导数3综合题P7）

1、$e^x\ge x+1　\qquad 切点在(0,1)处，指数函数恒在直线y=x+1$上方。
2、$e^x\ge ex\qquad 切线过原点，切点在(e,1)，指数函数恒在直线y=ex$上方。
3、$x-1\ge \ln x\quad 或\ln x\le x-1 切点在(1,0)处，对数函数恒在直线y=x－1$下方。
4、$\cfrac{x}{e}\ge \ln x \quad 或 \ln x \le \cfrac{x}{e} 切线过原点，切点在(e,1)，指数函数恒在直线y=\cfrac{x}{e}$下方。

四、切线放缩

$1。证明：当a\ge 1时，a(x+1)\gt \cfrac{\ln x+1}{x}$
$解：定义域x\gt 0,a\ge 1\Rightarrow a(x+1)\ge x+1即证x+1\gt \cfrac{\ln x+1}{x}$
${\color{Green} 即证:x(x+1)\gt\ln x+1} \Leftrightarrow x^2+{\color{Red} (x-1)} +1\ge {\color{Red} \ln x}+1$
$要先证明{\color{Red} x-1\ge \ln x}后使用$
$2、证明：当a\gt a\ge e时， e^x\ge a(\ln x+1)$
$定义域x\gt 0,a\ge e\Rightarrow a(\ln x+1)\ge e(\ln x+1)$
$要证 e^x\ge a(\ln x+1),即证e^x\ge e(\ln x+1){\color{Red} \Leftrightarrow e^{x-1}\ge \ln x+1} \Leftrightarrow {\color{Green} e^{x-1}} \ge {\color{Red} x-1} +1\ge {\color{Green} \ln x} +1$
$3、证明：当m\le 2时，e^x\gt \ln (x+m)$
$证： 定义域x \gt 0,2\ge m {\color{Red} \Rightarrow \ln (x+2)\ge \ln (x+m)} $
$e^x\ge x+1={\color{Red} x+2} -1\ge \ln (x+2)\ge \ln (x+m)$
$4-1。证明:xe^x\ge \ln x +x+1 $
$证明:定义域x\gt 0,xe^x=e^{\ln x+x}\ge \ln x+x+1$
$要证切线不等式成立，还要证明\ln x+x能取到0$
$4-2。已知不等式:xe^x-a(x+1)\ge \ln x 对\forall x\in (0,+\infty) 恒成立,则实数 a的取值范围是$
参变分离再放缩
$定义域x\gt 0,xe^x-\ln x \ge a(x+1)\Rightarrow a\le \cfrac{xe^x-\ln x}{x+1}$
$\le \cfrac{xe^x-\ln x}{x+1} =\cfrac{{\color{Red} e^{\ln x+x}} -\ln x}{x+1} \ge \cfrac{{\color{Red} \ln x+x+1} -\ln x}{x+1}=1$
$4.3、已知不等式x^{-3}e^x-a\ln x\ge x+1对于任意x\in (1,+\infty) 恒成立，则实数a的取值范围是$
$x^{-3}e^x-a\ln x\ge x+1\Leftrightarrow x^{-3}e^x-x-1\ge a\ln x$
$\Rightarrow a\le \cfrac{{\color{Red} x^{-3}e^x} -x-1}{\ln x} =\cfrac{{\color{Red} e^{x-3\ln x}} -x-1}{\ln x}\ge \cfrac{{\color{Red} x-3\ln x+1} -x-1}{\ln x} =-3$