**分四步，一、设点设直线，二、联立用韦达，三、三点共线用斜率关系列等式，四、根据极点刻意去配凑

用极点三角，计算出过n=1,配凑（n-1）的因式

拾之九八
例一：北京卷:已知椭圆$C:\cfrac{x^2}{8}+\cfrac{y^2}{4}=1$,与y轴的交点为A,B点A位于B的上方），直线 $y=kx+4$与曲线C交于不同的两点$M,N,连接AM,BN交于点G$，求证:点$G$纵坐标为定值。
预判：(0,4)点的极线为 $\cfrac{0\cdot x}{8} +\cfrac{4y}{4}=1\Rightarrow y=1\quad G点在此准线上$

一、设点、设直线：
设三点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),G(m,n),A(0,2),B(0,-2)直线l_{MN}:y=kx+4$
二、联立方程写韦达；
$\begin{cases} y=kx+4\\x^2+2y^2-8=0\end{cases}\Rightarrow 2(kx+4)^2+x^2-8=0\Rightarrow (2k^2+1)x^2+16kx+24=0$
$x_1+x_2=\cfrac{-16k}{2k^2+1} \quad x_1x_2=\frac{24}{2k^2+1}$
三、三点共线用斜率列等式，
MBG三点共线：$\cfrac{y_1+2}{x_1} =\cfrac{n+2}{m}\quad(1)$
NAG三点共线：$\cfrac{y_2-2}{x_2} =\cfrac{n-2}{m} \quad(2)$
两式相除，得：$\cfrac{y_1+2}{x_1} \cdot \cfrac{x_2}{y_2-2} =\cfrac{n+2}{n-2}$
四、交叉相乘再按需要配凑：
$(n+2)x_1(y_2-2)=(n-2)x_2(y_1+2)\Rightarrow (n+2)x_1(kx_2+2)=(n-2)x_2(kx_1+6)$
$\Rightarrow (n+2)kx_1x_2+2(n+2)x_1=(n-2)kx_2x_1+6(n-2)x_2$
$\Rightarrow 4kx_1x_2+2({\color{Red}n-1 }+3)x_1-6({\color{Red} n-1}-1)x_2=0$
$\Rightarrow 4kx_1x_2+2{\color{Red} (n-1)}(x_1-3x_2)+6(x_1+x_2)=0$
$\Rightarrow 4k\cdot \cfrac{24}{2k^2+1}+2{\color{Red} (n-1)}(x_1-3x_2)+6\cdot \cfrac{-16k}{2k^2+1} =0\Rightarrow 2(n-1)(x_1-3x_2)=0$

$\Rightarrow n=1$ G点定直线$y=1$上

例2：江苏卷例题：$\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{5} =1$左右顶点为A,B,设过点$T(t,m)$的直线$TA,TB$与椭圆分别交于$m(x_1,y_1),N(x_2,y_2),其中 m\gt 0,y_1\gt 0,y_2\lt 0.设t=9,求证直线MN必过x轴上的定点。$

定点G(n,0)的极线为$x=9,\frac{nx}{9} +\frac{0\cdot y}{5} =1 \Leftrightarrow x=9\Rightarrow n=1刻意构造n-1$
一、设点设直线：

设$M(x_1,y_1), N(x_2,y_2), 设直线MN过{\color{Red}\cancel{定点}} 点G(n,0),l_{MN}=ty+n \quad A(-3,0),B(3,)$·

二、联立方程
$\begin{cases} x=ty+n\\5x^2+9y^2-5\times9=0\end{cases}\Rightarrow 5(ty+n)^2+9y^2-5\times9=0$

$\Rightarrow (5t^2+9)y^2+10nt\cdot y+5\times(n^2-9)=0$
$y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
三、三点共线斜率有等式
$k_{AM}=\cfrac{y_1}{x_1+3} =\cfrac{m}{12}=k_{TA} \quad(1)$
$k_{BN}=\cfrac{y_2}{x_2-3} =\cfrac{m}{6}=k_{TB}\quad (2)$
两式相除，得：${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}\quad *$
$y_2(x_1+3)=2y_1(x_2-3）\Rightarrow x_1y2+3y_2=2x_2y_1-6y_1$

第四步：刻意构造(n-1)的因式分解式
从上式可以看出，消去x比消y简单一些。
$\Rightarrow (ty_1+n)y_2+3y_2=2(ty_2+n)y_1-6y_1$
$\Rightarrow ty_1y_2+2(n-3)y_1-(n+3)y_2=0$
$\Rightarrow ty_1y_2+2(n-1-2)y_1-(n-1+4)y_2=0$
$ty_1y_2+(n-1)(2y_1-y_2)-4(y_1+y_2)=0$
$\Rightarrow t\cdot\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)-4\cdot\cfrac{-10nt}{5t^2+9}=0$
$\Rightarrow \cfrac{5t(n^2+8n-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)=0$
$\Rightarrow (n-1)\cdot[\cfrac{5t(n+9)}{5t^2+9}+(2y_1-y_2)]=0$
$\Rightarrow n-1=0\therefore$n=1,直线过定点G(1,0)

对第四步的处理还有以下两种方法：

法二、
${\color{Red} **利用椭圆第三定义对非对称韦达定理处理**}$
利用椭圆第三定义对非对称韦达定理处理
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}$
$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2} =-\frac{5}{9}$
$k_{AM}=\cfrac{y_1}{x_1+3} =-\frac{5}{9} \cdot\cfrac{1}{k_{BM}} =-\cfrac{5}{9}\cdot \cfrac{x_1-3}{y_1}$
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =-\cfrac{5}{9}\cdot \cfrac{x_1-3}{y_1}\cdot\cfrac{x_2-3}{y_2}=\cfrac{1}{2}}$
$\cfrac{x_1-3}{y_1}\cdot\cfrac{x_2-3}{y_2}=\cfrac{x_1x_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1y_2}$
$x_1x_2=(ty_1+n)(ty_2+n)=t^2y_1y_2+nt(y_1+y_2)+n^2$
$-3(x_1+x_2)=-3(ty_1+n+ny_2+n)=-3t(y_1+y_2)-6n$
$分 子=t^2y_1y_2+t(n-3)(y_1+y_2)+n^2-6n+9$
$\cfrac{x_1x_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1y_2}=\cfrac{t^2y_1y_2+t(n-3)(y_1+y_2)+(n-3)^2}{y_1y_2}$
$=\cfrac{t^2\cdot 5(n^2-9)+t(n-3)(-10nt)+(n-3)^2(5t^2+9)}{5(n^2-9)}$
$\because \quad y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
$\cfrac{5n^2t^2-5\cdot 9t^2-10n^2t^2+30nt^2+5n^2t^2-30nt^2+9\cdot 5t^2+9(n-3)^2}{5(n^2-9)}$
$=\cfrac{9(n-3)^2}{5(n+3)（n-3)}=-\cfrac{9}{5}\cdot \cfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \cfrac{n-3}{n+3}=-\cfrac{1}{2} \Rightarrow n=1$

法三、韦达定理的和积互化处理非对称韦达定理。
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}=$
$\cfrac{y_1(ty_2+n-3)}{y_2(ty_1+n+3)}=\cfrac{ty_1y_2+(n-3)y_1 }{ty_1y_2+(n+3)y_2 }$
$\because \quad y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
令$y_1y_2=\lambda \cdot(y_1+y_2)\Rightarrow \lambda =\cfrac{n^2-9}{-2nt}$
$\cfrac{ty_1y_2+(n-3)y_1 }{ty_1y_2+(n+3)y_2 }=\cfrac{t\cdot \cfrac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n-3)y_1 }{t\cdot \cfrac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n+3)y_2 }$
=$\cfrac{(n^2-9)\cdot(y_1+y_2)-2n(n-3)y_1 }{(n^2-9)(y_1+y_2)-2n(n+3)y_2 }=\cfrac{(n-3)\cdot[(n+3)(y_1+y_2)-2ny_1 ]}{(n+3)\cdot[(n-3)(y_1+y_2)-2ny_2] }$
$=\cfrac{(n-3)\cdot[y_1(3-n)+y_2(n+3) ]}{(n+3)\cdot[y_1(n-3)-y_2(n+3)] }=-\cfrac{n-3}{n+3}=\cfrac{1}{2}$
$\therefore n=1$