$1.{\color{Red} 已知f(x)=ax^2+(b+2)x是定义在[a-1,3a]上的偶函数，那么a+b的值是(\quad)}$

$2.{\color{Green} 函数f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1}是定义在(-\infty,+\infty)上的奇函数，且f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}}$

$(1)求实数a,b, 并确定函数f(x) 的解析式;$

$(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数。$

$3.{\color{Blue}函数f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数，且当x\ge 0时，f(x)}$单调递增，则关于$x的不等式f(x-1)\gt f(a)的解集是(\quad)$

解：奇偶函数$\Rightarrow 定义域对称，a-1+2a=0\Rightarrow a=\frac{1}{3}$,偶函数右侧单增，左侧单减。$\because f(x-1)>f(a)\therefore |x-1|>\frac{1}{3},解得x<\frac{2}{3}或x>\frac{4}{3}(超过定义域，舍去)$故得$-\frac{2}{3}\le x<\frac{2}{3}$

$4.{\color{Red}已知f(x)=\log_\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+1}),}$则不等式${\color{Red}f(x+2)+f(1-2x)<0}$的解集是

解：先用分子有理化的方法证复合对数函数$f(x)$的奇偶性。$f(-x)=\log_\frac{1}{2}(-x+\sqrt{x^2+1})=log_\frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\log_\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=-f(x)$

$\therefore f(x)$是奇函数。令$t=x+\sqrt{x^2+1},f(t)=\log_\frac{1}{2}t,f(t)$是单调递减函数。t是单调递增函数。$\Rightarrow$复合函数$f(x)$是单调递减函数.

$f(x+2)+f(1-2x)<0\Rightarrow f(x+2)<-f(1-2x)=f(2x-1)\Rightarrow$

$x+2>2x-1\Rightarrow x<3$

$5.{\color{Green}函数f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1},&-1<x<0\\2x,&x\ge0\end{cases},}$若实数${\color{Green}a满足f(a)=f(a-1),则f(\frac{1}{a})=}$

解：画分段函数图像$\Rightarrow 0<a<1,a-1<0,\Rightarrow 2a=\sqrt{a-1+1}\Rightarrow 4a^2=a,a=\frac{1}{4},\Rightarrow f(4)=8$

$6.{\color{Blue}函数f(x) =\begin{cases}(3a-1)x+4a,&x<1\\ \frac{a}{x},&x\ge 1\end{cases},在\mathbb{R}上是减函数，则a的取值范围是(\quad)}$

解：因为是$f(x)$减函数,$\Rightarrow \begin{cases}a>0\\3a-1<0\end{cases}$且在函数分段点处必然有左边函数值$f(1_-)≥f(1_+)$右边函数。即有$(3a-1)\times1+4a\ge \cfrac{a}{1}$

解得$\frac{1}{6}\le a<\frac{1}{3}$

习题：

1.讨论如下函数的单调性：

①$f(x)=\frac{2}{\sqrt{2-\cfrac{1}{x}}}$;

②$f(x)=\frac{1}{4+3x-x^2}$;

③$f(x)=x+\frac{1}{x}$;

④$y=x^2+2x$

2.已知$f(x)$是奇函数，当$x>0时，f(x)=\sqrt[3]{x}(1+x)$,求$x<0,f(x)$的函数表达式。

3.已知函数$f(x)=a-\frac{2}{2^x+1}$在$\mathbb{R}$上是奇函数，求$a$的大小。

解： 奇函数在R有定义，$f(0)=a-1=0,\Rightarrow a=1。$若是大题还需要证明$f(x)=1-\frac{2}{2^x+1}$是奇函数。$f(-x)=1-\frac{2}{2^{-x}+1} =1-\frac{2\cdot2^x}{(2^{-x}+1)\cdot2^x} =\frac{2^x+1-2\cdot2^x}{2^x+1}$

$=\frac{1-2^x}{2^x+1}=\frac{2-(2^x+1)}{2^x+1}=\frac{2}{2^x+1}-1 =-f(x)$

4.已知定义在$\mathbb{R}$上函数$f(x)$的图像是连续不断的，且满足以下条件：$①\forall x\in R,f(-x)=f(x);$

$②\forall x_1,x_2\in (0,+\infty),当x_1\ne x_2时，都有\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0;$

$③f(-1)=0,则下选项成立的是(CD)$

$A.f(3)>f(-4);\quad B. 若f(m-1)<f(2),则m的解集\in (-\infty,3)$

$C. 若\frac{f(x)}{x}>0,则x\in (-1,0)\cup (1,+\infty) \quad D.\forall x\in R,\exists M\in R,使得f(x)\ge M.$

5.定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)+f(-x)=0,且\forall x_1,x_2\in R$,有$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1+x_2}>0(x_1+x_2\ne 0),$则下列结论中正确的有$(\qquad)$

$A.f(x)是奇函数；\quad B.f(x)在R上单调递增；\quad C.f(x^2)>f(x-1)恒成立$

D.$f(x^2)-f(1)<0的解集是(-1,1)$

6.定义在R的单调函数$f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y\in R),且f(3)=6.$

$①判断函数f(x)的奇偶性，并证明；$

$②若\forall x\in [\frac{1}{2},3)都有f(kx^2)+f(2x-1)<0成立$，求实数$k$的取值范围。

解：$①\because f(x+y)=f(x)+f(y),\begin{cases} 令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x);\\令x=y=0,则有\Rightarrow f(0)=0\end{cases}$

$\Rightarrow f(-x)=-f(x)$

$②\because f(0)=0<f(3) 且f(x)单调函数，\therefore f(x)$单调递增。$x\in [\frac{1}{2},3),f(2x-1)=-f(1-2x),f(kx^2)+f(2x-1)=f(kx^2)-f(1-2x)<0$

$f(kx^2)<f(1-2x)\Rightarrow kx^2<1-2x\Rightarrow k<\frac{1-2x}{x^2}=\frac{1}{x^2} -\frac{2}{x}$

换元令$t=\frac{1}{x} ,x\in[\frac{1}{2},3)\Rightarrow t\in (\frac{1}{3},2],k<t^2-2t=(t-1)^2-1$恒成立，即$k<t^2-2t$的最小值。$ t\in (\frac{1}{3},2],k<[(t-1)^2-1]_{min}=-1,即k<-1。$

7.已知函数$f(x)$的定义域为R，$f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y),$则$(A.C)$

$A.f(x)=0\quad B.f(1)=1\quad C.f(x)是偶函数\quad D.x=0为f(x)的极小值点$

解：令$x=y=0,易得f(0)=0，故A正确；令x=y=1,易得f(1)=0;$令$x=y=-1,易得f(-1)=0;$令$y=-1,f(-x)=f(x),故f(x)为偶数;$

8.设函数$f(x)=2^{x(x-a)}在区间(0,1)$上单调递减，则$a$的取值范围是$(D)$.

$A.(-\infty,2]\quad B.[-2,0)\quad C.(0,2]\quad D.[2,+\infty)$

笔记总结：

上述例题主要考查函数的奇偶性和增减性。

奇偶性的本质是图象的对称性，首先是定义域对称，然后是函数值的对称。对于奇函数，题目一定会隐藏-个已知条件：${\color{Red}奇函数在x=0有定义则f(0)=0!!}$

f(-x)=-f(x)或f(x)+f(-x)=0\Leftrightarrow f(x)是奇函数$.奇函数还有如下的表述方式：

${\color {Orange}若\forall x,y\in \mathbb{R},f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立\Rightarrow f(x)为奇函数}$

$f(-x)=f(x)或f(x)-f(-x)=0\Leftrightarrow f(x)$是偶函数

$增函数\begin{cases}x_1<x_2\in D &\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2) {\color{Red}公式①}\\x_1\ne x_2\in D& \Rightarrow k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0\\x_1\ne x_2\in D& \Rightarrow [f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\\x_1\ne x_2\in D,且f(x)是奇函数&\Rightarrow \frac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1+x_2}>0{\color{Red}公式④}\\x_1\ne x_2\in D,且f(x)是奇函数&\Rightarrow [f(x_1)+f(x_2)](x_1+x_2)>0{\color{Red}公式⑤}\\{f}' (x)>0;&高二导数内容，高一不要求\end{cases}$

例题3和例4是将函数值不等式,利用对称性和单调性转化为关于$x$的不等式。相当于逆用${\color{Red}公式①}$式。

$偶函数+右侧\nearrow ,f(x_1)<f(x_2)\Rightarrow |x_1|<|x_2|$,${\color {Red}自变量到y轴距离越大，函数值越大}$

$奇函数+单\nearrow, f(x_1)<f(x_2)\Rightarrow x_1＜x_2$

${\color{Red}公式④⑤}$的证明：$\because f(x)是奇数\Rightarrow f(x_2)=-f(-x_2),\frac{f(x_1)+f(x_2)}{x_1+x_2}=\frac{f(x_1)-f(-x_2))}{x_1-(-x_2)}$,令$x_3=-x_2,\frac{f(x_1)-f(x_3)}{x_1-x_3}>0$，得证。公式⑤同理。

熟记一些${\color{Red}常考的奇函数}$，如例4。补充：

$①{\color{Red} f(x)=\log_{a}{\frac{m+x}{m-x}}} $

②${\color{Violet} f(x)=\log_{a}{\frac{m-x}{m+x} } }$

$③{\color{Green} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}+mx })}$

$④{\color{Red} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}-mx }) }$

$⑤{\color{Green} f(x)=a^{-x}-a^x}$

$⑥{\color{Violet} f(x)=\frac{a^x+1}{a^x-1}} $

式子③④取$f(-x)$对其真数进行如下例的分子有理化操作，即可将分子为化1。

$\sqrt{m^2x^2+1}+mx =\cfrac{(\sqrt{m^2x^2+1}+mx)(\sqrt{m^2x^2+1}-mx ) }{\sqrt{m^2x^2+1}-mx } =\cfrac{1}{\sqrt{m^2x^2+1}-mx }$

$1、{\color{Red} 已知f(x)=ax^2+(b+2)x是定义在[a-1,3a]上的偶函数，那么a+b的值是(\quad)}$

${\color{Green} 函数f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1}是定义在(-\infty,+\infty)上的奇函数，且f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}}$

$(1)求实数a,b, 并确定函数f(x) 的解析式;$

$(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数。$

${\color{Blue} 已知函数f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数，且当x\ge 0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x-1)\gt f(a)的解集是(\quad)}$

解：奇偶函数$\Rightarrow 定义域对称，a-1+2a=0\Rightarrow a=\frac{1}{3}$,偶函数右侧单增，左侧单减。$\because f(x-1)>f(a)\therefore |x-1|>\frac{1}{3},解得x<\frac{2}{3}或x>\frac{4}{3}(超过定义域，舍去)$故得$-\frac{2}{3}\le x<\frac{2}{3}$

3、${\color{Red}已知函数f(x)=\log_\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+1}),则不等式f(x+2)+f(1-2x)<0的解集是(\quad)}$

解：先证$f(x)$的奇偶性。$f(-x)=\log_\frac{1}{2}(-x+\sqrt{x^2+1})=log_\frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\log_\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=-f(x)$

$\therefore f(x)$是奇函数。令$t=x+\sqrt{x^2+1},f(t)=\log_\frac{1}{2}t,f(t)$是单调递减函数。t是单调递增函数。$\Rightarrow$复合函数$f(x)$是单调递减函数.

$f(x+2)+f(1-2x)<0\Rightarrow f(x+2)<-f(1-2x)=f(2x-1)\Rightarrow x+2<2x-1\Rightarrow x>3$

4、${\color{Green} 已知函数f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1},&-1<x<0\\ 2x,&x\ge0\end{cases},若实数a满足f(a)=f(a-1),则f(\frac{1}{a})=}(8)$

解：画分段函数图像$\Rightarrow 0<a<1,a-1<0,\Rightarrow 2a=\sqrt{a-1+1}\Rightarrow 4a^2=a,a=\frac{1}{4},\Rightarrow f(4)=8$

5、${\color{Blue} 已知函数f(x) =\begin{cases}(3a-1)x+4a,&x<1\\ \frac{a}{x},&x\ge 1\end{cases},在\mathbb{R}上是减函数，则a的取值范围是(\quad)}$

解：因为是$f(x)$减函数,$\Rightarrow \begin{cases}a>0\\3a-1<0\end{cases}$且在函数分段点处必然有左边值≥右边函数。即$3a-1+4a\ge a$

解得$\frac{1}{6}\le a<\frac{1}{3}$

$函数\begin{cases}三要素：定义域，值域，对应关系（解析式）\\三性质：单调性，奇偶性，周期性\\三题型：不等式，对称中心应用、性质扩展\end{cases}$

${\color{Red} 三要素之定义域}$ ：

1、具体：$\begin{cases}
\sqrt{x}：&x\ge0\
\log_{a}{} :&a,x>0,a\ne 1\
\frac{1}{x} :&x\ne 0\x^0:&x\ne 0
\end{cases}$

2、抽象：①定义域：$x$取值范围

②括号范围不变原则。

$若f(x)的定义域为[0,3],则函数y=f(x-1)$的定义域为( )
$若f(2x+1)的定义域为 [0,3],则函数y=f(x)$的定义域为（ ）

${\color{Green}三要素之值域 } $：同除法，换元法、判断式法

同除法$\begin{cases}
函数y=\frac{x^2-x+1}{x} (x>0)的最小值为{\qquad }\
\
函数y=\frac{x}{x^2-x+1} (x>0)的最大值为{ \qquad }
\end{cases}$

$换元法：\begin{cases} 函数y=\frac{x-1}{x^2-x+1},(x>1)的最大值为(\qquad )\\函数y=\frac{x^2-2x+2}{x^2-x+1} ,(x>1)的最小值为(\qquad )\\函数y= \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+5} 的最大值为(\qquad)\end{cases}$

${\color{Red}三要素之解析式 }$ ：

已知$f(\sqrt{x} +1)=x-3\sqrt{x} ,则f(x)=$___________;

已知$f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3 ,则f(x)=$__________；

已知函数$f(x)满足f(x)=2f(-x)+x,则f(x)=$

已知函数$f(x)满足f(x)=2f(\frac{1}{x} )+x,则f(x)=$

${\color{Red} 三性质之单调性}$:

$①定义法$

$②等价定义\forall x_1\ne x_2\Leftrightarrow k=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} >0,f(x)\nearrow或(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\Rightarrow f(x)\nearrow $

③复合函数:同增异减

④导数

${\color{Green}三性质之奇偶性 }$ :

常用的几个奇函数：

$①{\color{Red} f(x)=\log_{a}{\cfrac{m+x}{m-x}}} $

$②{\color{Violet} f(x)=\log_{a}{\cfrac{m-x}{m+x} } } $
$③{\color{Green} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}+mx }) }$

$④{\color{Red} f(x)=\log_{a}{(\sqrt{m^2x^2+1}-mx }) }$

$⑤{\color{Green} f(x)=a^{-x}-a^x} $

$⑥{\color{Violet} f(x)=\cfrac{a^x+1}{a^x-1}} $

$1、定义在[-2,2]$上的函数$f(x)满足(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0(x_1\ne x_2)，且f(x)>f(2x-1),$则实数$x$的取值范围为$(2\ge x>2x-1\ge -2,C)$

$(A)(-\infty,1)\quad(B)[-\frac{1}{2},1]\quad(C)[-\frac{1}{2},1)\quad(D)[-1,1)$

$2、函数f(x)是定义在\mathbb{R}$上的偶函数，且$f(x)在[0,+\infty)$上单调递增，若$f(x)>f(2x-1),则实数x的取值范围为(A)$
$(A)(\frac{1}{3},1)\quad(B)(-1,1)\quad(C)(-\infty,1)\quad(D) (1,+\infty)$

$3、设f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^2},$则使$f(x^2-x)>f(2x-2)$成立的$x取值范围是(A)$

$(A)(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)\quad(B)(-\infty,-2)\cup (0,2)\quad(C)(-2,2)\quad(D)(-\infty,-2)\cup (1,+\infty)$

$4、已知函数f(x)=x^3-2x+e^x-\frac{1}{e^x},若f(x)+f(2x-1)>0,实数x的取值范围为(x\gt \frac{1}{3})$

${\color{Red}三个题型之**对称中心的应用**}$

$5、已知函数f(x)=\ln (\sqrt{1+x^2}- x)+1,f(a)=4,则f(-a)为(-2)$

$[变式1]设函数f(x)=x^3\cos x+1,若f(a)=11,则f(-a)=(-9)$

$[变式2]13年重庆，已知函数f(x)=ax^3+b\sin x+4(a,b\in R),f(\lg({\log_{2}{10}) })=5 ,则f(\lg({\lg{2}) })=(3)$

$[变式3]已知函数f(x)=\frac{|x|-\sin x+1}{|x|+1}的最大值为M,最小值为m,则M+m=(2)$

${\color{Red}1、和为常数：对称性。口诀：异对称}$

${\color{Red}对称轴： } \begin{cases}
f(a+x)=f(a-x):&对称轴x=a\
f(a-x)=f(b+x):&对称轴x=\frac{a+b}{2}
\end{cases}$

${\color{Green}对称中心： } \begin{cases}
f(a+x)=-f(a-x):&(a,0)\
f(a-x)=2b-f(b+x):&(a, b)
\end{cases}$

${\color{Red}2、差为常数:周期性;口诀：同周期}$

${\color{Violet} ①若f(x)=f(\pm a)\Leftrightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Green}②若f(x+a)=f(x-a)\Leftrightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Red}③若f(x+a)=f(x-b)\Leftrightarrow f(x)的周期为|a+b|;}$
${\color{Orange}④若f(x)=-f(x+a)\Leftrightarrow f(x)+f(x+a)=a\Rightarrow f(x)的周期为2|a|;} $
${\color{Violet} ⑤若f(x)=\frac{m}{f(x+a)}\Leftrightarrow f(x)f(a+x)=m\Rightarrow f(x)的周期为2|a|}$;
${\color{Green}⑥若f(x)=-\frac{m}{f(x+a)}\Leftrightarrow f(x)f(x+a)=-m\Rightarrow f(x)的周期为2|a|;}$

${\color{Red} ⑦f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;}$
${\color{Blue} ⑧f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;}$

例1、已知函数$y=f(x)满足f(x)-f(2-x)=0(x\in \mathbb{R}),且在[1,+\infty)$上为增函数，则($C$)

$(A)f(-1)>f(1)>f(2)\quad(B)f(1)>f(2)>f(-1)\quad(C)f(-1)>f(2)>f(1)\quad(D)f(2)>f(-1)>f(1)$

例2、已知函数$y=f(x)满足f(2-x)=2-f(x)(x\in \mathbb{R}),若f(-1)+f(0)=4,则f(2)+f(3)=(0)$

${\color{Red}3、双对称出周期结论(可借助三角函数辅助理解)}$

①如果函数$f(x)$有两条对称轴，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称轴距离的２倍。
②如果函数$f(x)$有一条对称轴，有一个对称中心，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称轴与对称中心之间距离的4倍。
③如果函数$f(x)$有两个对称中心，则$f(x)$一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的２倍。

$若f(x)是定义域为\mathbb{}的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2,则f(1)+f(2)+\dots +f(50)=(C)$

$(A)-50\quad(B)0\quad(C)2\quad(D)50$

(2022.全国乙卷) 已知函数$f(x),g(x)$的定义域均为R，且$f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7。若y=g(x)$的图象关于直线$x=2$对称，$g(2)=4，\sum\limits_{k=1}^{22} f(k)=(D)$

$(A)-21\quad (B)-22\quad(C)-23\quad(D)-24$

${\color{Red}原函数与导函数的对称结论:(理解即可,不强求记忆)}$

(1)若$f(x)$存在导函数${f}'(x) $,且$f(x)$有对称中心$(a,b)$,则${f}'(x) $必有对称轴$x=a$,特别地，若$f(x)$为奇函数，则${f}'(x) $为偶函数。

${\color{Red}\heartsuit\color{Green}原函数有心\Rightarrow导函数有轴;原函数是奇函数\Rightarrow导函数为偶函数}$

(2)若$f(x)$存在导函数${f}'(x) $,且$f(x)$有对称轴$x=a$,则${f}'(x) $必有对称中心$(a,0)$,特别地，若$f(x)$为偶函数，则${f}'(x) $为奇函数。

${\color{Red}\heartsuit\color{Blue} 原函数有轴x=a\Rightarrow 导函数有心(a,0)；原函数是偶函数\Rightarrow导函数为奇函数}$

(3)若${f}'(x) $有对称中心$(a,b)$,则$f(x)$不一定有对称轴$x=a$,但若$b=0$,则${f}(x) $必有对称轴$x=a$,特别地，若${f}'(x) $为奇函数,则$f(x)$为偶函数。

${\color{Yellow}\heartsuit \color{Red}导函数有心(a,b)\nRightarrow原函数有对称轴x=a; 但导函数有心(a,0)\Rightarrow原函数有对称轴x=a；导函数是奇函数\Rightarrow原函数为偶函数.}$

(４)若${f}'(x) $有对称轴$x=a$,则$f(x)$必有对称中心$(a,b)$.特别地，若${f}'(x) $为偶函数,则$f(x)$为不一定是奇函数，只能$f(x)$关于$(0,b)$对称，但$b$不一定是０.

${\color{Red}\heartsuit\color{Violet}导函数有轴x=a\Rightarrow原函数有心(a,b)；{f}' (-x)={f}'(x)\begin{cases}\nRightarrow &f(-x)=-f(x)\\ \Rightarrow &f(x)关于(0，b)对称\end{cases}}$

(2022年.新高考多选)已知函数$f(x)$及其导函数${f}' (x)$的定义域均为R，记$g(x)={f}' (x),若f(\frac{3}{2} -2x),g(2+x)$均为偶函数，则( )。

$(A)f(0)=0\quad (B)g(-\frac{1}{2})=0\quad(C)f(-1)=f(4)\quad (D)g(-1)=g(2)$

口诀：同周期，异对称，异异心，双对称出周期

看$x$:同周异对; 看$y,f$同号轴对称,$f$异号中心对称

周期性：

$(1)f(x+a)=f(x+b)\Rightarrow T=|a-b|;$

$(2)f(x+a)=\frac{m}{f(x)}(m\ne 0)\Leftrightarrow f(x)f(x+a)=m\Rightarrow T=2a$

$(3)f(x+a)=-f(x)+c\Leftrightarrow f(x)+f(x+a)=c\Rightarrow T=2a;$

$(4)f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;$

$(5)f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;$

对称性：

$(1)f(a+x)=f(a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(2)f(x)=f(2a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(3)f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow f(x)关于x=\frac{a+b}{2}对称$

$(4)f(a+x)=-f(a-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(a-x)=0$则$f(x)关于(a,0)$对称;

$(5)f(x)=-f(2a-x)\Longleftrightarrow f(x)+f(2a-x)=0则f(x)关于(a,0)对称;$

$(6)f(a+x)=-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=0则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,0)对称;$

$(7)f(a+x)=2c-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=2c则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,c)对称;$

$(8)f(x+a)是偶函数\Leftrightarrow f(x)关于x=a对称;$（复合函数的对称性）

$(9)f(x+a)是奇函数\Leftrightarrow f(x)关于(a,0)对称;$（复合函数的对称性）

1、函数$f(x)对\forall x\in \mathbb{R},满足f(x+2)=\frac{1}{f(x)} ，若f(1)=-5,则f(f(5))=(\qquad)$

$A.-5\quad B.5.\qquad C.\frac{1}{5}\qquad D.-\frac{1}{5}$

$2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),若f(1)=1,则f(3)-f(4)=(\qquad)$

$A.-1\quad B.1\qquad C.-2\qquad D.2$

$3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2),若当-3\le x \le 0时，f(x)=6^{-x},则f(919)=(\qquad)$

如果理解?$f(1+x)=f(1-x),\begin{cases}f(1)\xrightarrow{左称x}f(1+x)\\f(1)\xrightarrow{右移x} f(1-x)\end{cases}\Rightarrow f(x)关于x=1对称$

如果区分轴对称和中心对称？去掉常数$\Rightarrow$奇函数，偶函数。$f(x+2)的图像关于x=-2对称， \Rightarrow f(x)关于x=0$对称；

$f(x)为奇函数， 且f(x)=f(2-x)\Rightarrow f(x)的T=4$
双对称出周期
$(1)若函数图像关于x=a，x=b轴对称，则T=2|b-a|；$
$(2)若函数图像关于(a,0)，(b,0)中心对称，则T=2|b-a|；$
$(3)若函数图像关于x=a和(b,0)对称，则T=4|b-a|;$

巳知函数$f(x)满足y=f(-x)和f(x+2)$都是偶函数，且$f(1)=1，则f(-1)+f(7)=$( )

$A.0,B.1;C.2;D.3$

已知函数$f(x)=\ln x+\ln(2-x),则$（）

$A.f(x)在(0,2)单调递增。\quad B. f(x)在(0，2)单调递减。\quad C.y=f(x)的图象关于x=1对称。\quad D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称。$

两个函数的对称性

$f(x)与-f(x)关于x$轴对称。
$f(x)与f(-x)与关于y$轴对称。
$f(x)与f(2a-x)与关于x=a$轴对称。
$f(x)与2b-f(2a-x)关于(a，b)$对称。
$f(x)与2a-f(x)与关于y=a$轴对称。
$f(a-x)与f(x-b)与关于x=\frac{a+b}{2}$对称。

函数的增减性、奇偶性运算

①、奇函数$\pm$奇函数＝奇函数，偶函数$\pm$偶函数＝偶函数

②、奇函数$\cdot$ 奇函数＝偶函数；偶函数$\cdot$偶函数＝偶函数；偶函数 $\cdot$奇函数＝奇函数

③、奇函数+偶函数＝非奇非偶

④、复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外。内是指内层函数。(如下解释)

若$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，则$f(f(x))和g(f(x))$均为偶函数;$f(g(x))$是偶函数，$g(g(x))$是奇函数

①、如果奇函数在$x=0$处有定义，则$f(x)=0$

②、奇函数在原点两侧单调性相同，偶函数在原点两侧单调性相反。

作业：用奇函数、偶函数的定义证明上式②奇$\cdot$ 奇＝偶。

增减性运算：

设$f(x)和g(x)$增函数

①、$f(x)+g(x)$是增函数；

②、$-f(x)$是减函数；

③、$\cfrac{1}{f(x)}$是减函数；$(f(x)\gt 0)$

④、$f(x)\cdot g(x) \quad(f(x)\gt 0,g(x)>0)$

⑤、复合函数的单调性是,同增异减。