点差法是比较独立于常规解法韦达设联消之外的一种解题思路。本质上，点差法不采取设直线方程并与椭圆联立得到二次方程的常规解法，而采取方程做差的方法。${\color{Red} 这类对式子进行变换（如加减乘除、合分比等）从而得到坐标关系的策略}$ 从而得到坐标关系的策略我们都可以称其为广义的点差法。通常来说，相比于二次联立，点差法具有更少的计算量，也同时具有更高的思维要求。
应该认识到，对称性的发现与运用是点差法中的重要思想。
点差法最基础的应用莫过于${\color{Red}弦中点的斜率}$关系了，这也是大部分人第一次接触点差法所解决的问题。
例一 弦中点的斜率积
现有椭圆$\Gamma:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt b\gt 0)，$及其上一弦AB. 设
AB的中点为M，坐标系原点为O.
求证：$k_{om}k_{AB}=e^2-1=-\cfrac{b^2}{a^2}$
解：首先，$设A(x_1,y_1)B(x_2,y_2)$代入椭圆方程得到，
$\begin{cases}\cfrac{x_1^2}{a^2}+\cfrac{y_1^2}{b^2}=1\\ \cfrac{x_2^2}{a^2}+\cfrac{y_2^2}{b^2}=1 \end{cases}$
两式作差，得$k_{om}k_{AB}=e^2-1=-\cfrac{b^2}{a^2}$
这是一种最基础的方法，主要根据是平方差公式得到$x_1+x_2与 x_1-x_2$的关系，再运用几何意义得出结论。
根据不同的方法我们可以得到不同的结论。比如说配方：
例二 | 椭圆上一点的切线方程
椭圆$\Gamma:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1及其上一点P(x_0,y_0)$
求证:椭圆$\Gamma:在P处的切线方程为:\cfrac{x_0x}{a^2}+\cfrac{y_0y}{b^2}=1$
采用二次联立会使用$\delta$的方法作为相切的条件。本质上就是证明只有一个交点。
用点差的方法，我们有：
$\begin{cases} \cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\qquad ①\\\cfrac{x_0^2}{a^2}+ \cfrac{y_0^2}{b^2}=1\qquad②\\\cfrac{x_0x}{a^2}+ \cfrac{y_0y}{b^2}=1\quad③\end{cases}$
进行配方$①+②－2\times ③$得到
$\cfrac{x^2-2x_0x+x_0^2}{a^2} +\cfrac{y^2-2y_0y+y_0^2}{b^2}=1+1-2\Rightarrow \cfrac{(x_0-x)^2}{a^2} +\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=0$
仅有$(x,y)=(x_0,y_0)$一解，可知直线与椭圆仅有一交点，故直线与椭圆相切。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/619123116

对偶式法适用于经过二次曲线对称轴上定点的直线。使用这个方法的主体是以曲线上的点作为参数，找到点与点之间存在的数量关系。有时还需要解点：解出点的坐标，进行消元。通常用于椭圆和双曲线。

前置知识一：直线两点式的另一种形式。

我们知道，直线的两点式，是描述了到两定点斜率相等的点的集合。
先回顾一下，即如下的式子：
过点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的直线的两点式：\cfrac{y-y_1}{x-x_1} =\cfrac{y-y_2}{x-x_2}$
稍微变形即可得到$\Omega$  式：
$\cfrac{y-y_1}{x-x_1} =\cfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$(y-y_1)(x-x_2)=(y-y_2)(x-x_1)$
$xy-y_1x-x_2y+x_2y_1=xy-y_2x-x_1y+x_1y_1$
$x_2y_1-x_1y_2=(x_2-x_1)y+(y_1-y_2)x\qquad \Omega式$

前置知识二：对二次曲线方程的使用（对偶式法的核心）

若过点$T(t,0)的直线l交椭圆C:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt 0)于A,B两点。A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$
AB:$\quad x_2y_1-x_1y_2=(x_2-x_1)y+(y_1-y_2)x过点T$
$x_2y_1-x_1y_2=t(y_1-y_2)\qquad ①$
$x_2y_1+x_1y_2=\cfrac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{x_2y_1-x_1y_2} =\cfrac{\cfrac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{a^2} }{\cfrac{x_2y_1-x_1y_2}{a^2} }$
$=\cfrac{(1-\cfrac{y_2^2}{b^2} )y_1^2- (1-\cfrac{y_1^2}{b^2} )y_2^2}{\cfrac{t(y_1-y_2)}{a^2} }=\cfrac{a^2}{t}(y_1+y_2)\qquad ②$
联立① ②：$\begin{cases} x_2y_1=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2} y_1+\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} y_2\\x_1y_2=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2} y_2+\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} y_1\end{cases}$
$\begin{cases} x_2=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2} +\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} \cfrac{y_2}{y_1}\\x_1=\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2}+\cfrac{-t+\frac{a^2}{t} }{2} \cfrac{y_1}{y_2}\end{cases}$
${\color{Red} \Rightarrow } (x_1-\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2}) (x_2-\cfrac{t+\frac{a^2}{t} }{2}) =(\cfrac{-t+\cfrac{a^2}{t} }{2} )^2$

同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中对称问题、切线问题、平行线截线段成比例问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了．
结合近几年高考试题和各地模拟试题，发现同构思想在解决圆锥曲线的有关问题时能优化计算，比起以往联立直线与曲线方程的常规方法，显得简便许多.当题目中出现具有相同结构、相同式子时，或过某一点处的切线等相似结构时，可以考虑采用同构法， 从而达到提高解题效率的目的
　
解：设$B(\cfrac{y_1^2}{2},y_1),C(\cfrac{y_2^2}{2},y_2),A(2,2)\Rightarrow P=1$
故直线$AB:k_1=\cfrac{y_1-2}{\frac{y_1^2}{2}-2 } =\cfrac{2(y_1-2)}{(y_1+2)(y_1-2) }=\cfrac{2}{y_1+2 }$
直线$AB方程：(y-2)(y_1+2)=2(x-2)\Rightarrow 2x-(y_1+2)y+2y_1=0$
圆心$(2,0)到直线的距离为1:\cfrac{\left | 4+2y_1 \right | }{\sqrt{4+(y_1+2)^2} } =1$
整理得，$3y_1^2+12y_2+8=0将y_1^2=2x_1代入，得3x_1+6y_1+4=0$
同理可得，$3x_2+6y_2+4=0，可见B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)是方程3x+6y+4=0的解$
即$BC在直线3x+6y+4=0上$

记椭圆的焦点三角形$PF_1F_2,记\triangle PF_1F_2内切圆面积和外接圆面积分另为S_1,S_2,若\cfrac{S_2}{S_1} 的最小值为4$
$,则椭圆的离心率为(\qquad)$
$A.\cfrac{1}{2} \qquad B.\cfrac{\sqrt{2} }{2} \qquad C.\cfrac{1}{3}\qquad D.\cfrac{\sqrt{3} }{3}$
设外接圆半径为$R，内切圆半径为r,则 \cfrac{S_2}{S_1}=\cfrac{R^2}{r^2} =4\Rightarrow (\cfrac{R}{r})_{min} =2$
$根据正弦定理有\cfrac{2c}{\sin P} =2R\Rightarrow R=\cfrac{c}{\sin P};$
$易推三角形与内切圆半径关系的面积公式：S_{\triangle PF_1F_2}=\cfrac{1}{2} 三角形周长\times 内切圆半径=\cfrac{1}{2} (2a+2c)r$
$由焦点三角形面积公式：S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan \cfrac{P}{2}=\cfrac{1}{2} (2a+2c)r$
$\Rightarrow r=\cfrac{b^2\tan \cfrac{P}{2}}{a+c}\Rightarrow \cfrac{R}{r} =\cfrac{\cfrac{c}{\sin P}}{\cfrac{b^2\tan \cfrac{P}{2}}{a+c}} =\cfrac{c(a+c)}{\sin P b^2\tan \cfrac{P}{2}} =\cfrac{c(a+c)}{2 b^2\sin^2 \cfrac{P}{2}}$
$\cfrac{R}{r}有最小值，即 \sin^2 \cfrac{P}{2}有最大值,焦点三角形的的顶点在短轴顶点上，顶角有为最大值。$
$(\sin \cfrac{P}{2} )_{max}=e\Rightarrow \cfrac{c(a+c)}{2 b^2e^2 }=2\Rightarrow \cfrac{ac+c^2}{(a^2-c^2)e^2 }=4\Rightarrow \cfrac{e+e^2}{1-e^2 }=4e^2\Rightarrow \cfrac{1+e}{1-e^2 }=4e$
$4e(1-e)=1\Rightarrow \Rightarrow 4e^2-4e+1=0\Rightarrow e=\cfrac{1}{2}$

$已知椭圆E:\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1\quad (a\gt b\gt 0)的右顶点分别为A,B,离心率为\cfrac{\sqrt{3} }{2},$
$过P点(1,0)作直线交椭圆于C,D(与AB均不重合)，当点D与椭圆E的上顶点重合时，\left | AD \right |=\sqrt{5} $
$①求椭圆方程；$
$②设直线AD,BC的斜率分别为k_1,k_2,求证\cfrac{k_1}{k_2} 为定值。$
$解:设C(x_1,y_1),D(x_2,y_2),k_1=\cfrac{y_1}{x_1+2},k_2=\cfrac{y_2}{x_2-2}$
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}$
$反设直线CD方程:x=my+1$
$\begin{cases}x=my+1\\ x^2+4y^2-4=0 \end{cases}{\color{Green} \Rightarrow (m^2+4)y^2+2my-3=0} $
${\color{Red} y_1+y_2=\cfrac{-2m}{m^2+4} \quad y_1y_2=\cfrac{-3}{m^2+4} } $
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(my_2+1-2)}{y_2(my_1+1+2)}=\cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}$
上式便是非对称韦达定理，处理方法有如下几种：
第一种：和积互化
${\color{Red} \cfrac{y_1+y_2}{y_1y_2} =\cfrac{2m}{3} }\Rightarrow my_1y_2=\cfrac{3}{2}(y_1+y_2) $
${\color{Red} \therefore \quad \cfrac{k_1}{k_2} =} \cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}=\cfrac{{\color{Red} \cfrac{3}{2}(y_1+y_2)} -y_1}{{\color{Red} \cfrac{3}{2}(y_1+y_2)} +3y_1}= \cfrac{1}{3} $
和积互化还可参见：https://one.free.nf/index.php/archives/3/ 中例二法三
第二种方法：用曲线方程替换

$x_1^2+4y_1^2=4\Rightarrow x_1^2=4-4y_1^2\Rightarrow (x_1+2)(x_1-2)=-4y_1^2$

$\Rightarrow(x_1+2)=\cfrac{-4y_1^2}{(x_1-2)} 代入\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}$
第三种暴力硬解法：
${\color{Green}(m^2+4)y^2+2my-3=0} \Rightarrow y=\cfrac{-2m\pm \sqrt{4m^2+12(m^2+4)} }{2(m^2+4)} $
${\color{Red} =\cfrac{-m\pm 2\sqrt{m^2+3} }{m^2+4} } $
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}＝\cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}
=\cfrac{m\cdot \cfrac{-3}{m^2+4} -{\color{Red} \cfrac{-m- 2\sqrt{m^2+3} }{m^2+4} }}{m\cdot\cfrac{-3}{m^2+4} +3\cdot {\color{Red} \cfrac{-m+ 2\sqrt{m^2+3} }{m^2+4} }}
$
$\cfrac{-3m {\color{Red} +m+ 2\sqrt{m^2+3} }}{-3m{\color{Red} -3m+ 6\sqrt{m^2+3 } }}=\cfrac{1}{3} $
第四种方法：利用圆锥曲线第三定义，前提是两定点是顶点
https://one.free.nf/index.php/archives/3/
例2中法二，如果同时齐次化计算会更简化。
齐次化操作见：https://one.free.nf/index.php/category/%E5%9C%86%E9%94%A5/1/

第五种方法：保留一个未知数，再配凑
$\cfrac{k_1}{k_2} =\cfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}＝\cfrac{my_1y_2-y_1}{my_1y_2+3y_2}=\cfrac{my_1y_2-{\color{Red} (y_1+y_2)-y_2} }{my_1y_2+3y_2}$
$=\cfrac{\cfrac{-3m}{m^2+4}-\cfrac{-2m}{m^2+4}+y_2}{\cfrac{-3m}{m^2+4}+3y_2 }=\cfrac{\cfrac{-m}{m^2+4}+y_2}{\cfrac{-3m}{m^2+4}+3y_2 } =\cfrac{1}{3} $